برای محاسبه انتگرال $\int_0^1 x^4 \cos(x) \, dx$ با استفاده از قاعده ذوزنقه‌ای و به دست آوردن تعداد تقسیمات $n$ به گونه‌ای که خطای تقریبی کمتر از 0.0009 باشد، به این صورت عمل می‌کنیم:

1. فرمول قاعده ذوزنقه‌ای:

قاعده ذوزنقه‌ای به صورت زیر است: $\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-1}) + f(b) \right]$ که در آن $h = \frac{b-a}{n}$ و $x_i = a + ih$ است.

2. فرمول خطای قاعده ذوزنقه‌ای:

خطای قاعده ذوزنقه‌ای برابر است با: $E_T = -\frac{(b-a)h^2}{12} f''(\xi)$ برای مقداری از $\xi$ در بازه $[a, b]$. این خطا به صورت تقریبی به این صورت هم می‌تواند بیان شود: $E_T \approx \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max |f''(x)|$

3. محاسبه مشتق دوم $f(x)$:

تابع ما $f(x) = x^4 \cos(x)$ است. ابتدا مشتقات لازم را محاسبه می‌کنیم:

$f(x) = x^4 \cos(x)$

$f'(x) = 4x^3 \cos(x) - x^4 \sin(x)$

$f''(x) = 12x^2 \cos(x) - 8x^3 \sin(x) - x^4 \cos(x)$

برای به دست آوردن حداکثر مقدار $|f''(x)|$ در بازه $[0, 1]$، می‌توان مقدار $f''(x)$ را در مرزهای بازه و نقاط بحرانی بررسی کرد.

4. محاسبه حداکثر مقدار $|f''(x)|$:

مقادیر $f''(x)$ در نقاط مهم را محاسبه می‌کنیم:

$f''(0) = 12 \times 0^2 \times \cos(0) - 8 \times 0^3 \times \sin(0) - 0^4 \times \cos(0) = 0$

در نقطه $x = 1$:

$f''(1) = 12 \times 1^2 \times \cos(1) - 8 \times 1^3 \times \sin(1) - 1^4 \times \cos(1)$ $f''(1) \approx 12 \times 0.5403 - 8 \times 0.8415 - 1 \times 0.5403 \approx 6.4836 - 6.732 - 0.5403 \approx -0.7887$

حداکثر مقدار تقریبی $|f''(x)|$ در بازه $[0, 1]$ برابر با $12$ است (با تقریب بالا).

5. به دست آوردن $n$ با توجه به خطا:

برای دستیابی به خطای کمتر از 0.0009، داریم: $\frac{(1-0)^3}{12n^2} \times \max |f''(x)| \leq 0.0009$ $\frac{1}{12n^2} \times 12 \leq 0.0009$ $\frac{1}{n^2} \leq 0.0009$ $n^2 \geq \frac{1}{0.0009} \approx 1111.11$ $n \geq \sqrt{1111.11} \approx 33.34$

بنابراین باید از حداقل $n = 34$ استفاده کنیم تا خطای قاعده ذوزنقه‌ای کمتر از 0.0009 شود.

---

آیا سوال دیگری دارید یا نیاز به توضیحات بیشتر است؟ در اینجا چند سوال مرتبط دیگر برای مطالعه شما آورده‌ام:

1. چگونه می‌توان از قاعده سیمپسون با تعداد نقاط کمتر استفاده کرد تا به همان دقت برسد؟
2. چگونه مشتق‌های بالاتر روی دقت انتگرال‌گیری عددی تأثیر می‌گذارند؟
3. چه زمانی استفاده از قاعده ذوزنقه‌ای بر دیگر روش‌ها ترجیح داده می‌شود؟
4. چه روش‌های دیگری برای انتگرال‌گیری عددی وجود دارد و مزایا و معایب هر کدام چیست؟
5. آیا می‌توان این مسئله را با استفاده از سری تیلور نیز تقریب زد؟

نکته: برای دقت بیشتر، تعداد نقاط را افزایش دهید تا خطای انتگرال‌گیری کمتر شود.