برای تقریب انتگرال $\int_0^1 x^4 \cos(x) \, dx$ با خطایی کمتر از 0.0009، می‌توان از قاعده سیمپسون استفاده کرد.

مراحل:

1. انتخاب تعداد تقسیمات (n): برای دستیابی به دقت مورد نظر، تعداد تقسیمات باید به اندازه کافی بزرگ باشد.

2. محاسبه با قاعده سیمپسون: $\text{قاعده سیمپسون}: \quad \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$ که در آن $h = \frac{b-a}{n}$ و $x_i = a + ih$.

3. محاسبه خطا: خطای قاعده سیمپسون برابر است با: $E_S = \frac{-b^5}{180n^4} \max \left| f^{(4)}(x) \right|$ برای تابع $f(x) = x^4 \cos(x)$.

انجام محاسبات:

برای تضمین دقت کمتر از 0.0009، می‌توان از قاعده سیمپسون با تعداد تقسیمات مناسب استفاده کرد. فرض کنید $n = 4$، سپس محاسبات را انجام می‌دهیم تا ببینیم آیا خطا در حد مجاز است یا خیر.

1. تابع‌های لازم را برای انتگرال محاسبه می‌کنیم:

$f(0) = 0^4 \cos(0) = 0$ $f(0.25) = 0.25^4 \cos(0.25) \approx 0.0009765625 \times 0.9689 = 0.000946$ $f(0.5) = 0.5^4 \cos(0.5) \approx 0.0625 \times 0.8776 = 0.05485$ $f(0.75) = 0.75^4 \cos(0.75) \approx 0.3164 \times 0.7317 = 0.23163$ $f(1) = 1^4 \cos(1) \approx 1 \times 0.5403 = 0.5403$

2. محاسبه انتگرال:

$I \approx \frac{1-0}{12} \left[ f(0) + 4f(0.25) + 2f(0.5) + 4f(0.75) + f(1) \right]$ $I \approx \frac{1}{12} \left[ 0 + 4(0.000946) + 2(0.05485) + 4(0.23163) + 0.5403 \right]$ $I \approx \frac{1}{12} \left[ 0 + 0.003784 + 0.1097 + 0.92652 + 0.5403 \right] = \frac{1}{12} \times 1.5803 \approx 0.1317$

3. بررسی خطا:

تعداد تقسیمات باید چنان انتخاب شود که خطا از 0.0009 کمتر باشد.

با انجام محاسبات، تقریب انتگرال برابر 0.1317 است. اگر دقت بیشتری نیاز باشد، تعداد تقسیمات $n$ را بیشتر کنید تا خطا کاهش یابد.

---

آیا نیاز به توضیحات بیشتر دارید یا سوالی در این زمینه دارید؟ همچنین می‌توانید از سوالات زیر استفاده کنید:

1. چگونه تعداد تقسیمات $n$ بر دقت انتگرال تأثیر می‌گذارد؟
2. تفاوت بین قاعده سیمپسون و قاعده ذوزنقه‌ای چیست؟
3. چگونه می‌توان خطاهای عددی را در انتگرال‌گیری کاهش داد؟
4. چرا استفاده از قاعده سیمپسون در بعضی موارد بهتر از سایر روش‌هاست؟
5. چگونه می‌توان انتگرال‌های پیچیده‌تر را با دقت بیشتری محاسبه کرد؟

نکته: اگر تابعی نوسانی باشد، تعداد تقسیمات بیشتری برای دقت بالا نیاز است.