Para determinar a velocidade instantânea do corpo no instante $t = 2$ utilizando a derivada numérica com a fórmula de diferença finita centrada (MDF centrada), podemos aplicar a seguinte fórmula:

$v(t) \approx \frac{S(t+h) - S(t-h)}{2h}$

onde:

• $S(t) = t^2 \cdot t = t^3$
• $h = 0,001$

Vamos calcular a velocidade em $t = 2$.

Passos:

1. Calcular $S(t+h)$: $S(2 + 0,001) = (2 + 0,001)^3$

2. Calcular $S(t-h)$: $S(2 - 0,001) = (2 - 0,001)^3$

3. Calcular a velocidade instantânea: $v(2) \approx \frac{(2 + 0,001)^3 - (2 - 0,001)^3}{2 \times 0,001}$

Vamos realizar esses cálculos.

Cálculos:

1. $S(2 + 0,001) = (2 + 0,001)^3 = 2,001^3$
2. $S(2 - 0,001) = (2 - 0,001)^3 = 1,999^3$

$2,001^3 \approx 8,024006001$ $1,999^3 \approx 7,976006001$

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:

$v(2) \approx \frac{8,024006001 - 7,976006001}{0,002}$

$v(2) \approx \frac{0,048}{0,002} = 24,000$

Resultado:

A velocidade instantânea do corpo no instante $t = 2$ é aproximadamente $24,000$ unidades de posição por unidade de tempo.

Se você tiver alguma dúvida ou quiser mais detalhes, estou à disposição.

---

Aqui estão algumas perguntas relacionadas para você explorar mais:

1. Como a escolha de $h$ afeta a precisão da derivada numérica?
2. O que aconteceria se usássemos uma diferença finita avançada ou retrocedida em vez da centrada?
3. Como você calcularia a aceleração instantânea usando a segunda derivada?
4. Como a velocidade instantânea se comportaria em outros valores de $t$?
5. Como a função de posição $S(t)$ poderia ser alterada para representar um movimento mais complexo?

Dica: A MDF centrada é mais precisa que as versões avançada ou retrocedida, pois minimiza o erro de truncamento ao considerar variações em ambos os lados do ponto de interesse.