Para determinar a velocidade instantânea do corpo no instante $t = 2$ utilizando a derivada numérica com a fórmula de diferença finita centrada (MDF centrada), seguimos a fórmula:

$v(t) \approx \frac{S(t+h) - S(t-h)}{2h}$

onde:

• $S(t) = t^{2t}$
• $h = 0,001$

Vamos calcular a velocidade em $t = 2$.

Passos:

1. Calcular $S(t+h)$: $S(2 + 0,001) = (2 + 0,001)^{2(2 + 0,001)}$

2. Calcular $S(t-h)$: $S(2 - 0,001) = (2 - 0,001)^{2(2 - 0,001)}$

3. Calcular a velocidade instantânea: $v(2) \approx \frac{(2 + 0,001)^{2(2 + 0,001)} - (2 - 0,001)^{2(2 - 0,001)}}{2 \times 0,001}$

Agora, vamos realizar esses cálculos.

Cálculos:

1. $S(2 + 0,001) = (2 + 0,001)^{2(2 + 0,001)}$ $S(2 + 0,001) = 2,001^{4,002} \approx 16,048 \quad (\text{aproximado})$

2. $S(2 - 0,001) = (2 - 0,001)^{2(2 - 0,001)}$ $S(2 - 0,001) = 1,999^{3,998} \approx 15,953 \quad (\text{aproximado})$

Substituindo na fórmula da MDF centrada:

$v(2) \approx \frac{16,048 - 15,953}{0,002} \approx \frac{0,095}{0,002} = 47,500$

Resultado:

A velocidade instantânea do corpo no instante $t = 2$ é aproximadamente $47,500$ unidades de posição por unidade de tempo, arredondado para três casas decimais.

Se você tiver alguma dúvida ou quiser mais detalhes, estou à disposição.

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Aqui estão algumas perguntas relacionadas para você explorar mais:

1. Como a função $S(t) = t^{2t}$ se comporta em outros valores de $t$?
2. Como a velocidade muda ao longo do tempo para essa função específica?
3. Como a escolha de $h$ afeta a precisão no cálculo da derivada?
4. Como calcular a aceleração instantânea para essa função?
5. Como a derivada exata se compara com essa aproximação numérica?

Dica: O método de diferença finita centrada é útil para obter aproximações precisas, especialmente em funções onde a derivada analítica pode ser complicada de calcular diretamente.