Suponha um corpo se movendo em uma direção com posição S a cada instante de tempo t dada pela função S(t)= t^(2.t). Sabendo que a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo, utilize a derivada numérica com MDF centrada para determinar a velocidade do corpo no instante t = 2. Utilize h = 0,001. Apresente o resultado com arredondamento de 3 casas decimais.

Para determinar a velocidade instantânea do corpo no instante \( t = 2 \) utilizando a derivada numérica com a fórmula de diferença finita centrada (MDF centrada), seguimos a fórmula:

\[
v(t) \approx \frac{S(t+h) - S(t-h)}{2h}
\]

onde:
- \( S(t) = t^{2t} \)
- \( h = 0,001 \)

Vamos calcular a velocidade em \( t = 2 \).

### Passos:

1. **Calcular \( S(t+h) \):**
   \[
   S(2 + 0,001) = (2 + 0,001)^{2(2 + 0,001)}
   \]

2. **Calcular \( S(t-h) \):**
   \[
   S(2 - 0,001) = (2 - 0,001)^{2(2 - 0,001)}
   \]

3. **Calcular a velocidade instantânea:**
   \[
   v(2) \approx \frac{(2 + 0,001)^{2(2 + 0,001)} - (2 - 0,001)^{2(2 - 0,001)}}{2 \times 0,001}
   \]

Agora, vamos realizar esses cálculos.

### Cálculos:

1. \( S(2 + 0,001) = (2 + 0,001)^{2(2 + 0,001)} \)
   \[
   S(2 + 0,001) = 2,001^{4,002} \approx 16,048 \quad (\text{aproximado})
   \]

2. \( S(2 - 0,001) = (2 - 0,001)^{2(2 - 0,001)} \)
   \[
   S(2 - 0,001) = 1,999^{3,998} \approx 15,953 \quad (\text{aproximado})
   \]

Substituindo na fórmula da MDF centrada:

\[
v(2) \approx \frac{16,048 - 15,953}{0,002} \approx \frac{0,095}{0,002} = 47,500
\]

### Resultado:
A velocidade instantânea do corpo no instante \( t = 2 \) é aproximadamente \( 47,500 \) unidades de posição por unidade de tempo, arredondado para três casas decimais.

Se você tiver alguma dúvida ou quiser mais detalhes, estou à disposição.

---

Aqui estão algumas perguntas relacionadas para você explorar mais:

1. Como a função \( S(t) = t^{2t} \) se comporta em outros valores de \( t \)?
2. Como a velocidade muda ao longo do tempo para essa função específica?
3. Como a escolha de \( h \) afeta a precisão no cálculo da derivada?
4. Como calcular a aceleração instantânea para essa função?
5. Como a derivada exata se compara com essa aproximação numérica?

**Dica:** O método de diferença finita centrada é útil para obter aproximações precisas, especialmente em funções onde a derivada analítica pode ser complicada de calcular diretamente.

Learn how to calculate the instantaneous velocity of a moving body using the central difference formula with a detailed numerical approach. This problem involves the derivative of a function, numerical differentiation, and function analysis. Suitable for college-level students and enthusiasts of numerical methods.

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