in una giostra un carrellino si muove di 20 m in piano, poi sale di 40 m in direzione inclinata di 60° rispetto all’orizzontale e infine scende di 30 m in direzione inclinata di 45° rispetto all’orizzontale. A quale distanza orizzontale si trova il carrellino rispetto al punto di partenza? A quale altezza si trova il cartellino alla fine del percorso? qual è lo spostamento complessivo effettuato dal carrellino? 

Per risolvere questo problema, dobbiamo analizzare i movimenti del carrellino e determinare:

1. La distanza orizzontale totale rispetto al punto di partenza.
2. L'altezza finale rispetto al punto di partenza.
3. Lo spostamento complessivo del carrellino.

### 1. Distanza orizzontale totale

Il carrellino si muove lungo tre segmenti:

- **Segmento 1:** 20 m in piano (orizzontale), quindi la componente orizzontale è \( 20 \, \text{m} \).
- **Segmento 2:** 40 m in direzione inclinata di 60° rispetto all’orizzontale. La componente orizzontale di questo movimento è:
  \[
  40 \cos(60^\circ) = 40 \times \frac{1}{2} = 20 \, \text{m}
  \]
- **Segmento 3:** 30 m in direzione inclinata di 45° rispetto all’orizzontale. La componente orizzontale di questo movimento è:
  \[
  30 \cos(45^\circ) = 30 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 30 \times 0.707 = 21.21 \, \text{m}
  \]

**Distanza orizzontale totale rispetto al punto di partenza:**
\[
\text{Distanza orizzontale totale} = 20 + 20 + 21.21 = 61.21 \, \text{m}
\]

### 2. Altezza finale

Ora calcoliamo l'altezza finale raggiunta dal carrellino:

- **Segmento 1:** Non c'è cambiamento di altezza (spostamento orizzontale).
- **Segmento 2:** 40 m in direzione inclinata di 60° rispetto all'orizzontale. La componente verticale è:
  \[
  40 \sin(60^\circ) = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 40 \times 0.866 = 34.64 \, \text{m}
  \]
- **Segmento 3:** 30 m in direzione inclinata di 45° rispetto all'orizzontale. La componente verticale è:
  \[
  -30 \sin(45^\circ) = -30 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx -30 \times 0.707 = -21.21 \, \text{m}
  \]

**Altezza finale rispetto al punto di partenza:**
\[
\text{Altezza finale} = 34.64 - 21.21 = 13.43 \, \text{m}
\]

### 3. Spostamento complessivo

Lo spostamento complessivo è il vettore che collega il punto di partenza con il punto finale del percorso. Per calcolarlo, dobbiamo considerare le componenti orizzontali e verticali.

- **Componente orizzontale totale:**
  \[
  \text{Componente orizzontale} = 61.21 \, \text{m}
  \]
- **Componente verticale totale:**
  \[
  \text{Componente verticale} = 13.43 \, \text{m}
  \]

Lo spostamento complessivo \( \mathbf{S} \) è dato da:
\[
|\mathbf{S}| = \sqrt{(\text{Componente orizzontale})^2 + (\text{Componente verticale})^2}
\]
\[
|\mathbf{S}| = \sqrt{(61.21)^2 + (13.43)^2} = \sqrt{3747.06 + 180.30} = \sqrt{3927.36} \approx 62.67 \, \text{m}
\]

### Risultati finali
- **Distanza orizzontale rispetto al punto di partenza:** 61.21 m.
- **Altezza finale rispetto al punto di partenza:** 13.43 m.
- **Spostamento complessivo del carrellino:** 62.67 m.

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**Domande correlate:**
1. Come si determina lo spostamento di un oggetto su un percorso curvilineo?
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4. Come si calcola la velocità media su un percorso composto da più segmenti?
5. Come si calcola l'angolo risultante tra il punto di partenza e il punto di arrivo in un problema di spostamento?

**Tip:** Quando affronti problemi di spostamento che coinvolgono segmenti inclinati, scomponi sempre i movimenti nelle loro componenti orizzontali e verticali per semplificare i calcoli.

Explore a kinematics problem involving a cart moving horizontally and on inclined planes. Calculate the total horizontal distance, final vertical height, and overall displacement of the cart step-by-step. Suitable for high school students.

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