Um time de futebol jogou 11 partidas, perdeu 3, empatou 5 e ganhou 3. De quantas maneiras isso pode ter acontecido?

Para resolver essa questão, precisamos calcular de quantas maneiras diferentes o time pode ter perdido, empatado e ganho nas 11 partidas.

O problema se resume a contar as diferentes combinações de 3 derrotas, 5 empates e 3 vitórias em 11 partidas.

Podemos usar o conceito de combinação, pois a ordem das partidas não importa, mas as combinações de resultados (derrota, empate, vitória) sim.

A fórmula da combinação é:

\[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
\]

Onde:
- \( n \) é o total de elementos (no caso, 11 partidas),
- \( k \) é o número de elementos que estamos escolhendo (número de derrotas, empates, ou vitórias).

Vamos calcular as combinações para cada cenário:

1. **Escolhendo as 3 derrotas em 11 jogos:**
\[
C(11, 3) = \frac{11!}{3! \cdot (11-3)!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165
\]

2. **Escolhendo os 5 empates dos 8 jogos restantes:**
\[
C(8, 5) = \frac{8!}{5! \cdot (8-5)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56
\]

3. **Escolhendo as 3 vitórias dos 3 jogos restantes:**
\[
C(3, 3) = \frac{3!}{3! \cdot (3-3)!} = 1
\]

Finalmente, o número total de maneiras diferentes de o time ter perdido 3, empatado 5 e ganho 3 partidas é o produto dessas combinações:

\[
165 \times 56 \times 1 = 9240
\]

Portanto, há 9.240 maneiras diferentes de o time ter obtido esses resultados.

Quer detalhes adicionais ou tem alguma dúvida?

**Perguntas Relacionadas:**
1. Como podemos calcular o número de combinações para uma sequência diferente de vitórias, empates e derrotas?
2. Se o time tivesse jogado 15 partidas com 4 derrotas, 6 empates e 5 vitórias, de quantas maneiras isso poderia acontecer?
3. Qual é a diferença entre permutação e combinação?
4. Como o conceito de combinação pode ser aplicado em outros problemas de probabilidade?
5. Como as combinações diferem das arranjos ou permutações?
6. Como calcular o número de maneiras de o time ter perdido ao menos uma partida?
7. Se fossem dadas 4 vitórias, 4 empates e 3 derrotas, como o número de combinações mudaria?
8. Qual seria o número de combinações se as vitórias e empates tivessem quantidades iguais?

**Dica:** Para calcular combinações rapidamente, use a função de combinação \( C(n, k) \) disponível na maioria das calculadoras científicas.

Explore how to calculate the number of different ways a football team can achieve 3 losses, 5 draws, and 3 wins in 11 matches using combinatorial mathematics. Detailed step-by-step solution provided.

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