∫1−2∫43(2⋅x⋅y+y+2⋅x−2)dydx=

Um das gegebene doppelte Integral \(\int_{1}^{-2} \int_{4}^{3} (2xy + y + 2x - 2) \, dy \, dx\) zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

Zuerst beachten wir, dass die Integrationsgrenzen in umgekehrter Reihenfolge angegeben sind. Normalerweise sollten die unteren Grenzen kleiner als die oberen Grenzen sein. Wir müssen daher die Grenzen korrekt interpretieren:

- Für \(x\) von \(-2\) bis \(1\)
- Für \(y\) von \(3\) bis \(4\)

Somit lautet das Integral korrekt:
\[ \int_{-2}^{1} \int_{3}^{4} (2xy + y + 2x - 2) \, dy \, dx \]

Wir berechnen das innere Integral zuerst:
\[ \int_{3}^{4} (2xy + y + 2x - 2) \, dy \]

Dieses Integral berechnen wir termweise:
\[ \int_{3}^{4} 2xy \, dy + \int_{3}^{4} y \, dy + \int_{3}^{4} 2x \, dy + \int_{3}^{4} (-2) \, dy \]

Berechnen wir diese Integrale einzeln:

1. \(\int_{3}^{4} 2xy \, dy\):
\[ 2x \int_{3}^{4} y \, dy = 2x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{3}^{4} = 2x \left( \frac{4^2}{2} - \frac{3^2}{2} \right) = 2x \left( \frac{16}{2} - \frac{9}{2} \right) = 2x \left( 8 - 4.5 \right) = 2x \cdot 3.5 = 7x \]

2. \(\int_{3}^{4} y \, dy\):
\[ \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{3}^{4} = \frac{16}{2} - \frac{9}{2} = 8 - 4.5 = 3.5 \]

3. \(\int_{3}^{4} 2x \, dy\):
\[ 2x \int_{3}^{4} 1 \, dy = 2x [y]_{3}^{4} = 2x (4 - 3) = 2x \cdot 1 = 2x \]

4. \(\int_{3}^{4} -2 \, dy\):
\[ -2 \int_{3}^{4} 1 \, dy = -2 [y]_{3}^{4} = -2 (4 - 3) = -2 \cdot 1 = -2 \]

Kombinieren wir diese Ergebnisse:
\[ 7x + 3.5 + 2x - 2 = 9x + 1.5 \]

Nun berechnen wir das äußere Integral:
\[ \int_{-2}^{1} (9x + 1.5) \, dx \]

Dieses Integral berechnen wir ebenfalls termweise:
\[ \int_{-2}^{1} 9x \, dx + \int_{-2}^{1} 1.5 \, dx \]

Berechnen wir diese Integrale einzeln:

1. \(\int_{-2}^{1} 9x \, dx\):
\[ 9 \int_{-2}^{1} x \, dx = 9 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{1} = 9 \left( \frac{1^2}{2} - \frac{(-2)^2}{2} \right) = 9 \left( \frac{1}{2} - \frac{4}{2} \right) = 9 \left( \frac{1}{2} - 2 \right) = 9 \left( -\frac{3}{2} \right) = -\frac{27}{2} = -13.5 \]

2. \(\int_{-2}^{1} 1.5 \, dx\):
\[ 1.5 \int_{-2}^{1} 1 \, dx = 1.5 [x]_{-2}^{1} = 1.5 (1 - (-2)) = 1.5 (1 + 2) = 1.5 \cdot 3 = 4.5 \]

Kombinieren wir diese Ergebnisse:
\[ -13.5 + 4.5 = -9 \]

Das endgültige Ergebnis ist:
\[ \int_{-2}^{1} \int_{3}^{4} (2xy + y + 2x - 2) \, dy \, dx = -9 \]

Haben Sie Fragen oder möchten Sie Details zu einem bestimmten Schritt wissen?

Hier sind 5 Fragen, die Sie stellen können:
1. Können Sie ein weiteres Beispiel für ein doppeltes Integral mit umgekehrten Grenzen berechnen?
2. Was ist der Unterschied zwischen doppelten und einfachen Integralen?
3. Wie beeinflussen die Grenzen die Integrationsergebnisse?
4. Können Sie ein Beispiel für die Anwendung doppelter Integrale in der Physik geben?
5. Wie geht man vor, wenn man Integrale in Polarkoordinaten berechnet?

**Tipp:** Achten Sie bei der Berechnung von Integralen darauf, dass Sie die Integrationsgrenzen korrekt interpretieren, insbesondere wenn sie in umgekehrter Reihenfolge angegeben sind.

Learn how to calculate the double integral ∫1−2∫43(2⋅x⋅y+y+2⋅x−2)dydx step-by-step. Understand the method for integrating with reversed limits, covering key concepts in calculus and integration.

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