给定的问题是计算双重积分$\iint_D \arctan(y) \, dx \, dy$，其中区域$D$由以下边界围成：

1. $y = x$
2. $x = 0$
3. $y = 1$

首先，我们理解区域$D$。边界是：

1. $y = x$
2. $x = 0$
3. $y = 1$

这个区域在$xy$-平面上是一个右三角形，其顶点在$(0,0)$、$(1,1)$和$(0,1)$。

接下来，我们设定双重积分： $\iint_D \arctan(y) \, dx \, dy$

将积分写成关于$x$和$y$的形式： $\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} \arctan(y) \, dx \, dy$

注意到$\arctan(y)$与$x$无关，因此可以将其从内部积分中提取出来： $\int_{0}^{1} \arctan(y) \left( \int_{0}^{y} dx \right) dy$

计算内部积分： $\int_{0}^{y} dx = y$

所以积分简化为： $\int_{0}^{1} \arctan(y) \cdot y \, dy$

我们需要计算： $\int_{0}^{1} y \arctan(y) \, dy$

为此，我们可以使用分部积分法。设： $u = \arctan(y)$ 和 $dv = y \, dy$。

那么， $du = \frac{1}{1+y^2} \, dy \quad \text{和} \quad v = \frac{y^2}{2}$

使用分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们得到： $\int_{0}^{1} y \arctan(y) \, dy = \left. \frac{y^2}{2} \arctan(y) \right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{y^2}{2(1+y^2)} \, dy$

计算边界项： $\left. \frac{y^2}{2} \arctan(y) \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2} \arctan(1) - 0 = \frac{\pi}{8}$

现在计算剩余的积分： $\int_{0}^{1} \frac{y^2}{2(1+y^2)} \, dy$

简化积分被积函数： $\frac{y^2}{2(1+y^2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{y^2 + 1 - 1}{1 + y^2} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{1+y^2} \right)$

所以积分变为： $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left( 1 - \frac{1}{1+y^2} \right) dy = \frac{1}{2} \left[ y - \arctan(y) \right]_{0}^{1}$

计算这个积分： $\frac{1}{2} \left[ (1 - \arctan(1)) - (0 - \arctan(0)) \right] = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right)$

因此，积分结果为： $\frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

因此，给定的双重积分结果为： $\boxed{\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}}$

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提示: 在评估双重积分时，总是仔细绘制并理解积分区域，以正确设定积分。