Calcola dominio y = (2/5) ^ (sqrt((x ^ 2 - 1)/x))

Per trovare il dominio della funzione:

\[
y = \left( \frac{2}{5} \right)^{\sqrt{\frac{x^2 - 1}{x}}}
\]

dobbiamo assicurarci che l'espressione all'interno della radice quadrata e dell'esponente sia definita e reale. Esaminiamo i vari requisiti:

1. **Radice quadrata**: L'argomento della radice quadrata \(\frac{x^2 - 1}{x}\) deve essere maggiore o uguale a zero, poiché il dominio di una radice quadrata è limitato ai valori non negativi. Quindi,

   \[
   \frac{x^2 - 1}{x} \geq 0.
   \]

2. **Base della potenza**: La base della potenza, \(\frac{2}{5}\), è positiva e inferiore a 1, quindi non ci sono ulteriori restrizioni derivanti dalla base della potenza.

Passiamo ora a risolvere la disuguaglianza \(\frac{x^2 - 1}{x} \geq 0\).

### Risoluzione della disuguaglianza
La disuguaglianza \(\frac{x^2 - 1}{x} \geq 0\) può essere riscritta come:

\[
\frac{(x - 1)(x + 1)}{x} \geq 0.
\]

Ora esaminiamo i valori di \(x\) che rendono vera questa disuguaglianza. Gli zeri del numeratore sono \(x = 1\) e \(x = -1\), mentre il denominatore è nullo per \(x = 0\). Questi sono i punti critici.

#### Studio dei segni
Possiamo analizzare i segni della frazione \(\frac{(x - 1)(x + 1)}{x}\) in ciascuno degli intervalli definiti dai punti critici (\(-\infty\), \(-1\)), \((-1\), \(0\)), \( (0\), \(1\)), \( (1\), \(+\infty\)).

1. **Per \(x \in (-\infty, -1)\):**
   - \((x - 1) < 0\)
   - \((x + 1) < 0\)
   - \(x < 0\)
   
   La frazione è positiva.

2. **Per \(x \in (-1, 0)\):**
   - \((x - 1) < 0\)
   - \((x + 1) > 0\)
   - \(x < 0\)
   
   La frazione è negativa.

3. **Per \(x \in (0, 1)\):**
   - \((x - 1) < 0\)
   - \((x + 1) > 0\)
   - \(x > 0\)
   
   La frazione è negativa.

4. **Per \(x \in (1, +\infty)\):**
   - \((x - 1) > 0\)
   - \((x + 1) > 0\)
   - \(x > 0\)
   
   La frazione è positiva.

#### Conclusione
La disuguaglianza \(\frac{(x - 1)(x + 1)}{x} \geq 0\) è soddisfatta quando:

\[
x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty).
\]

### Dominio della funzione
Il dominio della funzione è quindi:

\[
D = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty).
\]

Hai domande o desideri ulteriori dettagli? Ecco alcune domande correlate:

1. Come si potrebbe risolvere una disuguaglianza simile con una base diversa per la potenza?
2. Quali sarebbero i requisiti del dominio se la base fosse maggiore di 1?
3. Come cambia il dominio se l’argomento della radice fosse una funzione diversa?
4. Quali implicazioni ha una base frazionaria sulla natura della funzione?
5. È possibile risolvere graficamente la disuguaglianza per visualizzare il dominio?

**Tip:** Per risolvere disuguaglianze con frazioni, ricorda di esaminare separatamente i segni del numeratore e del denominatore in ciascun intervallo.

Explore how to find the domain of the function y = (2/5)^(sqrt((x^2 - 1)/x)). This step-by-step solution includes analyzing inequalities for the square root and exponential components to ensure real values. Suitable for Grades 10-12 students learning about functions, domains, and inequalities.

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