Låt oss beräkna definitionsmängden, värdemängden och nollställen för funktionen $y = 3 + \sqrt{x + 2}$.

1. Definitionsmängd

Definitionsmängden är alla värden på $x$ som gör funktionen definierad.

• Innanför rottecknet har vi $x + 2$. För att detta ska vara definierat måste $x + 2$ vara större än eller lika med 0, eftersom man inte kan ta kvadratroten ur ett negativt tal (i den reella världen).

  $x + 2 \geq 0$

  $x \geq -2$

  Alltså är definitionsmängden $x \geq -2$, vilket i intervalnotation skrivs som:

  $D_f = [-2, \infty)$

2. Värdemängd

Värdemängden är alla möjliga värden som $y$ kan anta.

• Eftersom $\sqrt{x + 2}$ alltid är icke-negativ (det kan vara 0 eller större), och vi adderar 3 till det, är det minsta värdet på $y$ när $\sqrt{x + 2} = 0$, vilket händer när $x = -2$.

  När $x = -2$: $y = 3 + \sqrt{-2 + 2} = 3 + \sqrt{0} = 3$

  När $x$ ökar, ökar också $y$ eftersom $\sqrt{x + 2}$ ökar. Det finns inget övre gräns för $y$ eftersom $x$ kan bli mycket stort.

  Så värdemängden är: $V_f = [3, \infty)$

3. Nollställen

Nollställen är de värden på $x$ där $y = 0$.

• För att hitta nollställen sätter vi $y = 0$ och löser för $x$:

  $0 = 3 + \sqrt{x + 2}$

  $\sqrt{x + 2} = -3$

  Den här ekvationen har ingen lösning i de reella talen, eftersom kvadratroten ur ett tal aldrig kan vara negativ. Därför finns det inga nollställen för funktionen $y = 3 + \sqrt{x + 2}$.

Sammanfattning:

• Definitionsmängd: $[-2, \infty)$
• Värdemängd: $[3, \infty)$
• Nollställen: Inga

Vill du ha hjälp med något annat relaterat till denna funktion?

---

Relativa frågor:

1. Hur skulle definitionsmängden förändras om funktionen var $y = 3 + \sqrt{x - 2}$?
2. Vad händer med värdemängden om vi ändrar konstanten 3 till ett annat tal?
3. Kan funktionen $y = 3 + \sqrt{x + 2}$ ha ett minimum eller maximum?
4. Hur skulle nollställena förändras om funktionen var $y = 3 - \sqrt{x + 2}$?
5. Vad skulle definitionsmängden vara för funktionen $y = 3 + \sqrt{|x + 2|}$?

Tips: För att förstå funktioners beteende är det bra att skissa en graf för att visuellt se definitionsmängd, värdemängd och nollställen.