beräkna defenitionsmängd, värdemängd och nollställen för funktionen y=3+ roten ur (x+2)

Låt oss beräkna definitionsmängden, värdemängden och nollställen för funktionen \( y = 3 + \sqrt{x + 2} \).

### 1. Definitionsmängd
Definitionsmängden är alla värden på \( x \) som gör funktionen definierad.

- **Innanför rottecknet** har vi \( x + 2 \). För att detta ska vara definierat måste \( x + 2 \) vara större än eller lika med 0, eftersom man inte kan ta kvadratroten ur ett negativt tal (i den reella världen).
  
  \[
  x + 2 \geq 0
  \]
  
  \[
  x \geq -2
  \]
  
  Alltså är **definitionsmängden** \( x \geq -2 \), vilket i intervalnotation skrivs som:
  
  \[
  D_f = [-2, \infty)
  \]

### 2. Värdemängd
Värdemängden är alla möjliga värden som \( y \) kan anta.

- Eftersom \( \sqrt{x + 2} \) alltid är icke-negativ (det kan vara 0 eller större), och vi adderar 3 till det, är det minsta värdet på \( y \) när \( \sqrt{x + 2} = 0 \), vilket händer när \( x = -2 \).
  
  När \( x = -2 \):
  \[
  y = 3 + \sqrt{-2 + 2} = 3 + \sqrt{0} = 3
  \]
  
  När \( x \) ökar, ökar också \( y \) eftersom \( \sqrt{x + 2} \) ökar. Det finns inget övre gräns för \( y \) eftersom \( x \) kan bli mycket stort.
  
  Så **värdemängden** är:
  \[
  V_f = [3, \infty)
  \]

### 3. Nollställen
Nollställen är de värden på \( x \) där \( y = 0 \).

- För att hitta nollställen sätter vi \( y = 0 \) och löser för \( x \):

  \[
  0 = 3 + \sqrt{x + 2}
  \]

  \[
  \sqrt{x + 2} = -3
  \]

  Den här ekvationen har ingen lösning i de reella talen, eftersom kvadratroten ur ett tal aldrig kan vara negativ. Därför finns det **inga nollställen** för funktionen \( y = 3 + \sqrt{x + 2} \).

### Sammanfattning:
- **Definitionsmängd:** \( [-2, \infty) \)
- **Värdemängd:** \( [3, \infty) \)
- **Nollställen:** Inga

Vill du ha hjälp med något annat relaterat till denna funktion?

---

**Relativa frågor:**
1. Hur skulle definitionsmängden förändras om funktionen var \( y = 3 + \sqrt{x - 2} \)?
2. Vad händer med värdemängden om vi ändrar konstanten 3 till ett annat tal?
3. Kan funktionen \( y = 3 + \sqrt{x + 2} \) ha ett minimum eller maximum?
4. Hur skulle nollställena förändras om funktionen var \( y = 3 - \sqrt{x + 2} \)?
5. Vad skulle definitionsmängden vara för funktionen \( y = 3 + \sqrt{|x + 2|} \)?

**Tips:** För att förstå funktioners beteende är det bra att skissa en graf för att visuellt se definitionsmängd, värdemängd och nollställen.

Learn how to calculate the domain, range, and roots of the function y = 3 + sqrt(x + 2) with detailed explanations and examples. Understand the concepts of domain and range in functions and how to find roots in square root functions. Suitable for high school students and anyone interested in advanced algebra concepts.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation