integral subíndice 1 fin subíndice superíndice 9 fin superíndice abrir paréntesis fracción numerador 1 más raíz cuadrada de x entre denominador 2 espacio x espacio fin fracción cerrar paréntesis espacio d x
El valor aproximado de la integral, redondeando a tres decimales, es

La integral que has proporcionado se puede interpretar como:

\[
\int_{1}^{9} \left(\frac{1 + \sqrt{x}}{2x}\right) \, dx
\]

Para resolverla, vamos a calcularla paso a paso y luego redondearemos el resultado a tres decimales.

Primero, descomponemos la función:

\[
\frac{1 + \sqrt{x}}{2x} = \frac{1}{2x} + \frac{\sqrt{x}}{2x}
\]

Esto se puede escribir como la suma de dos integrales:

\[
\int_{1}^{9} \left(\frac{1}{2x}\right) dx + \int_{1}^{9} \left(\frac{\sqrt{x}}{2x}\right) dx
\]

Ahora resolvemos cada una por separado:

1. **Primera integral**:

\[
\int \frac{1}{2x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2} \ln |x|
\]

Evaluando en los límites de \(1\) a \(9\):

\[
\frac{1}{2} \left[\ln 9 - \ln 1\right] = \frac{1}{2} \ln 9
\]

2. **Segunda integral**:

\[
\int \frac{\sqrt{x}}{2x} dx = \int \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2} \cdot 2x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}
\]

Evaluando en los límites de \(1\) a \(9\):

\[
\sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2
\]

Sumando los resultados:

\[
\frac{1}{2} \ln 9 + 2
\]

Sabemos que \(\ln 9 \approx 2.197\), por lo tanto:

\[
\frac{1}{2} \times 2.197 + 2 = 1.0985 + 2 = 3.0985
\]

Redondeando a tres decimales:

\[
\boxed{3.099}
\]

Este es el valor aproximado de la integral.

---

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta? Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se evalúan integrales definidas?
2. ¿Qué métodos existen para resolver integrales más complejas?
3. ¿Cómo afecta el cambio de límites en una integral?
4. ¿Qué otras aplicaciones tiene el cálculo de integrales?
5. ¿Cómo se relacionan las integrales con el área bajo la curva?

**Tip:** Siempre verifica las propiedades de logaritmos y raíces al simplificar expresiones dentro de una integral.

Learn how to calculate the definite integral from 1 to 9 of (1 + sqrt(x)) / (2x) with a detailed step-by-step solution. This problem involves integral calculus, logarithms, and square roots. Suitable for advanced mathematics enthusiasts.

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