การหาค่ารากที่ 8 ของจำนวนเชิงซ้อน $i$ สามารถทำได้โดยใช้การแปลงเป็นรูปเชิงขั้ว (Polar Form) แล้วใช้สูตรในการหาค่ารากที่ $n$ ของจำนวนเชิงซ้อน

ขั้นตอนการหาค่ารากที่ 8 ของ $i$:

1. แปลง $i$ ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว: จำนวน $i$ ในเชิงขั้วสามารถเขียนได้ว่า: $i = \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) + i \sin\left( \frac{\pi}{2} \right)$ ดังนั้นค่าของ $i$ สามารถเขียนในรูป $r (\cos \theta + i \sin \theta)$ โดยที่ $r = 1$ และ $\theta = \frac{\pi}{2}$.

2. ใช้สูตรการหาค่ารากที่ $n$ ของจำนวนเชิงซ้อน: ค่ารากที่ $n$ ของจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูป $r (\cos \theta + i \sin \theta)$ คือ: $\text{root}_n = r^{1/n} \left( \cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right)$ โดยที่ $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

3. ในกรณีนี้ $n = 8$ และ $r = 1$, $\theta = \frac{\pi}{2}$, ดังนั้น: $\text{root}_8 = 1^{1/8} \left( \cos \frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{8} + i \sin \frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{8} \right)$ โดยที่ $k = 0, 1, 2, \dots, 7$.

คำนวณค่ารากที่ 8 ของ $i$:

• สำหรับ $k = 0$: $\text{root}_8 = \cos \frac{\frac{\pi}{2}}{8} + i \sin \frac{\frac{\pi}{2}}{8}$ ซึ่งให้ค่ารากแรก $\text{root}_8 = \cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16}$

• สำหรับ $k = 1$ ถึง $k = 7$, คำนวณตามสูตรเดียวกัน จะได้รากที่เหลืออีก 7 ตัว

ค่าแต่ละรากที่ 8 จะมีมุมที่ห่างกัน $\frac{2\pi}{8}$ หรือ $\frac{\pi}{4}$

ดังนั้น ค่าของรากที่ 8 ของ $i$ จะเป็นค่าที่อยู่ในรูป $\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16}$ และมีรากอื่น ๆ ตามลำดับ

สรุป:

ค่าของรากที่ 8 ของ $i$ มีทั้งหมด 8 ค่า โดยจะมีมุมเริ่มต้นที่ $\frac{\pi}{16}$ และเพิ่มขึ้นทีละ $\frac{\pi}{4}$ สำหรับแต่ละรากที่เหลือ.

ต้องการรายละเอียดเพิ่มเติมหรือคำอธิบายในส่วนใด?

คำถามที่เกี่ยวข้อง:

1. วิธีแปลงจำนวนเชิงซ้อนเป็นรูปเชิงขั้วคืออะไร?
2. การคำนวณค่ารากที่ $n$ ของจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้อย่างไร?
3. อธิบายการใช้สูตร De Moivre ในการหาค่ารากที่ $n$ ของจำนวนเชิงซ้อน?
4. ทำไมการแปลงจำนวนเชิงซ้อนเป็นรูปเชิงขั้วจึงมีประโยชน์ในการคำนวณ?
5. ตัวอย่างอื่น ๆ ของการหาค่ารากที่ $n$ ของจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?

เคล็ดลับ: หากพบจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนรูปดิ่ง (เช่น $i$, $-i$), การแปลงเป็นรูปเชิงขั้วจะช่วยให้การคำนวณง่ายขึ้นมาก!