Gegeben ist die Funktion $n(t) = 31t^3 - 60t + 500$, die die Anzahl der Pollen pro Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt $t$ (in Stunden) beschreibt. Wir sollen zwei Aufgaben lösen:

a) Bestimmen Sie die mittlere Änderung der Anzahl der Pollen pro Kubikmeter und Stunde während der ersten beiden Stunden der Messung.

Die mittlere Änderung einer Funktion über ein Intervall $[t_1, t_2]$ wird durch die Sekantensteigung gegeben:

$\text{Mittlere Änderung} = \frac{n(t_2) - n(t_1)}{t_2 - t_1}$

Hier ist das Intervall $[0, 2]$. Wir setzen also $t_1 = 0$ und $t_2 = 2$ ein:

1. Berechne $n(0)$: $n(0) = 31(0)^3 - 60(0) + 500 = 500$

2. Berechne $n(2)$: $n(2) = 31(2)^3 - 60(2) + 500 = 31(8) - 120 + 500 = 248 - 120 + 500 = 628$

3. Die mittlere Änderung ist dann: $\text{Mittlere Änderung} = \frac{n(2) - n(0)}{2 - 0} = \frac{628 - 500}{2} = \frac{128}{2} = 64$

Antwort: Die mittlere Änderung der Anzahl der Pollen pro Kubikmeter und Stunde während der ersten beiden Stunden beträgt 64 Pollen pro Stunde.

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b) Ermitteln Sie den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane zeitliche Änderung der Anzahl der Pollen pro Kubikmeter und Stunde $-30$ beträgt.

Die momentane Änderungsrate entspricht der ersten Ableitung der Funktion $n(t)$. Wir berechnen also die Ableitung $n'(t)$ und setzen diese gleich $-30$.

1. Ableitung von $n(t)$: $n'(t) = \frac{d}{dt} \left( 31t^3 - 60t + 500 \right) = 93t^2 - 60$

2. Setze $n'(t) = -30$ und löse nach $t$ auf: $93t^2 - 60 = -30$

$93t^2 = -30 + 60 = 30$

$t^2 = \frac{30}{93} = \frac{10}{31}$

$t = \sqrt{\frac{10}{31}} \approx 0,568$

Antwort: Der Zeitpunkt, zu dem die momentane zeitliche Änderung der Anzahl der Pollen pro Kubikmeter und Stunde $-30$ beträgt, ist ungefähr $t = 0,568$ Stunden nach Beginn der Messung.

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Falls Sie Details oder Fragen haben, lassen Sie es mich wissen!

Hier sind 5 Fragen, die auf den Informationen aufbauen:

1. Wie berechnet man die mittlere Änderungsrate einer Funktion über ein Intervall?
2. Was ist der Unterschied zwischen der mittleren und der momentanen Änderungsrate?
3. Warum ist die Ableitung der Funktion entscheidend für die Bestimmung der momentanen Änderung?
4. Wie beeinflusst die Form einer kubischen Funktion die Änderungsrate über die Zeit?
5. Wie könnten Sie den genauen Zeitpunkt für die Ableitung durch numerische Methoden berechnen?

Tipp: Die erste Ableitung einer Funktion beschreibt immer die momentane Änderungsrate, also die Geschwindigkeit der Veränderung zu einem bestimmten Zeitpunkt.