https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/172382331649908smvb66.pdf

Um den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten \( A = \left(2, 1\right) \), \( B = \left(1, -1\right) \), und \( C = \left(5, 2\right) \) in \(\mathbb{R}^2\) zu berechnen, können wir die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks in der Ebene verwenden:

\[
\text{Flächeninhalt} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|
\]

wobei \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) und \((x_3, y_3)\) die Koordinaten der Eckpunkte \(A\), \(B\) und \(C\) sind.

Setzen wir die Koordinaten ein:
- \( A = (2, 1) \), also \( x_1 = 2 \) und \( y_1 = 1 \)
- \( B = (1, -1) \), also \( x_2 = 1 \) und \( y_2 = -1 \)
- \( C = (5, 2) \), also \( x_3 = 5 \) und \( y_3 = 2 \)

Die Berechnung lautet dann:

\[
\begin{align*}
\text{Flächeninhalt} &= \frac{1}{2} \left| 2(-1-2) + 1(2-1) + 5(1+1) \right| \\
&= \frac{1}{2} \left| 2(-3) + 1(1) + 5(2) \right| \\
&= \frac{1}{2} \left| -6 + 1 + 10 \right| \\
&= \frac{1}{2} \left| 5 \right| \\
&= \frac{5}{2}
\end{align*}
\]

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also \( \frac{5}{2} \) Flächeneinheiten.

Möchtest du weitere Details zu dieser Berechnung oder hast du Fragen dazu? Hier sind einige verwandte Fragen, die wir betrachten könnten:

1. Wie wird der Flächeninhalt eines Dreiecks mit anderen Methoden berechnet?
2. Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks in 3D?
3. Was sind die Eigenschaften eines Dreiecks mit Null-Flächeninhalt?
4. Wie beeinflussen die Koordinaten der Eckpunkte den Flächeninhalt?
5. Wie kann man den Flächeninhalt eines Polygons berechnen?
6. Welche Anwendungsmöglichkeiten hat der Flächeninhalt in der Geometrie?
7. Wie bestimmt man den Umfang eines Dreiecks?
8. Was sind die Unterschiede zwischen verschiedenen Dreiecksarten?

**Tipp**: Es ist hilfreich, grundlegende Geometrieformeln zu beherrschen, um effektiv mit verschiedenen geometrischen Problemen umzugehen.

Learn how to calculate the area of a triangle with coordinates (2, 1), (1, -1), and (5, 2) in the Cartesian plane using the area formula for triangles. This problem covers key concepts in coordinate geometry and the application of determinants. Suitable for students in Grades 9-12.

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