Datos iniciales:

• Velocidad angular inicial ($\omega_0$) = 3000 rpm = $\frac{3000}{60} \times 2\pi$ rad/s = 100π rad/s
• Tiempo de frenado ($t$) = 20 s
• Velocidad angular final ($\omega_f$) = 0 rad/s

Parte A: Aceleración angular y número de vueltas

1. Aceleración angular ($\alpha$)

La aceleración angular se calcula con la fórmula:

$\alpha = \frac{\omega_f - \omega_0}{t}$

Sustituyendo valores:

$\alpha = \frac{0 - 100\pi}{20} = -5\pi \text{ rad/s}^2$

2. Número de vueltas ($N$)

El número total de vueltas $N$ se obtiene a partir del desplazamiento angular total $\theta$:

$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$

Sustituyendo:

$\theta = (100\pi)(20) + \frac{1}{2}(-5\pi)(20)^2$ $\theta = 2000\pi - 1000\pi = 1000\pi \text{ rad}$

Para convertir a vueltas:

$N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{1000\pi}{2\pi} = 500 \text{ vueltas}$

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Parte B: Aceleraciones tangencial, centrípeta y resultante

• Diámetro del volante = 20 cm → Radio $r = 0.1$ m

1. Aceleración tangencial ($a_t$)

La aceleración tangencial es:

$a_t = \alpha \cdot r$

Sustituyendo:

$a_t = (-5\pi)(0.1) = -0.5\pi \, \text{m/s}^2$

2. Velocidad angular tras 100 vueltas

La velocidad angular tras 100 vueltas se calcula con la relación cinemática:

$\theta = \frac{\omega^2 - \omega_0^2}{2\alpha}$

Sustituyendo:

$\theta = 100 \cdot 2\pi = 200\pi \text{ rad}$ $200\pi = \frac{\omega^2 - (100\pi)^2}{2(-5\pi)}$ Resolviendo para $\omega$:

$\omega^2 = (100\pi)^2 + 2(-5\pi)(200\pi)$ $\omega^2 = 10000\pi^2 - 2000\pi^2 = 8000\pi^2$ $\omega = \sqrt{8000}\pi = 20\sqrt{2}\pi \, \text{rad/s}$

3. Aceleración centrípeta ($a_c$)

La aceleración centrípeta es:

$a_c = \omega^2 \cdot r$

Sustituyendo:

$a_c = (20\sqrt{2}\pi)^2 \cdot 0.1 = (800\pi^2)(0.1) = 80\pi^2 \, \text{m/s}^2$

4. Aceleración resultante ($a_r$)

La aceleración resultante es:

$a_r = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$

Sustituyendo:

$a_r = \sqrt{(-0.5\pi)^2 + (80\pi^2)^2}$ $a_r = \sqrt{0.25\pi^2 + 6400\pi^4} \approx 80\pi^2 \, \text{m/s}^2$

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¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos?
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5. ¿Qué significa físicamente la aceleración resultante?

Tip: Cuando trabajes con aceleraciones, siempre separa las componentes tangencial y centrípeta para entender mejor el movimiento.