Diberikan vektor $\vec{A}$ yang membentuk sudut 30° dengan vektor satuan $\hat{i}$ (sumbu-x) dan sudut 60° dengan vektor satuan $\hat{j}$ (sumbu-y), mari kita selesaikan pertanyaan ini langkah demi langkah.

a. Sudut yang dibentuk oleh $\vec{A}$ dengan vektor satuan $\hat{k}$ (sumbu-z)

Gunakan fakta bahwa:

$\cos^2 \theta_x + \cos^2 \theta_y + \cos^2 \theta_z = 1$ dimana $\theta_x = 30^\circ$, $\theta_y = 60^\circ$, dan $\theta_z$ adalah sudut yang dibentuk oleh $\vec{A}$ dengan $\hat{k}$.

Langkah-langkah perhitungannya:

$\cos^2(30^\circ) = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4}$ $\cos^2(60^\circ) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$

Substitusi ke dalam persamaan:

$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta_z = 1$

$1 + \cos^2 \theta_z = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 \theta_z = 0$

Jadi:

$\cos \theta_z = 0 \quad \Rightarrow \quad \theta_z = 90^\circ$

Jadi sudut yang dibentuk oleh $\vec{A}$ dengan $\hat{k}$ adalah 90°.

b. Vektor satuan dari $\vec{A}$

Vektor satuan adalah $\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$. Karena kita tahu sudut-sudutnya, kita bisa mengekspresikan komponen vektor $\vec{A}$ dalam sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z menggunakan nilai cosinus dari sudut-sudut tersebut:

$\hat{A} = \cos(30^\circ) \hat{i} + \cos(60^\circ) \hat{j} + \cos(90^\circ) \hat{k}$

Menghitung cosinus dari sudut-sudut tersebut:

$\hat{A} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 0 \hat{k}$

Jadi, vektor satuan dari $\vec{A}$ adalah:

$\hat{A} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}$

c. $\vec{A}$ dengan $|\vec{A}| = 4$

Untuk vektor $\vec{A}$ dengan panjang 4, kita tinggal mengalikan vektor satuan $\hat{A}$ dengan panjang $|\vec{A}| = 4$:

$\vec{A} = 4 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} \right)$

Hasilnya adalah:

$\vec{A} = 2\sqrt{3} \hat{i} + 2 \hat{j}$

Kesimpulan:

• a. Sudut antara $\vec{A}$ dan $\hat{k}$ adalah 90°.
• b. Vektor satuan $\hat{A}$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}$.
• c. Vektor $\vec{A}$ dengan panjang 4 adalah $2\sqrt{3} \hat{i} + 2 \hat{j}$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau ada pertanyaan lainnya? Berikut 5 pertanyaan yang relevan untuk memperdalam pemahaman:

1. Bagaimana cara menentukan komponen vektor dalam ruang tiga dimensi?
2. Apa fungsi dari vektor satuan dalam penghitungan vektor?
3. Mengapa identitas $\cos^2 \theta_x + \cos^2 \theta_y + \cos^2 \theta_z = 1$ berlaku dalam ruang tiga dimensi?
4. Bagaimana penggunaan vektor dalam fisika untuk menghitung resultan gaya?
5. Bagaimana cara menentukan vektor satuan jika sudut yang diketahui lebih dari tiga?

Tip: Ketika bekerja dengan vektor di ruang tiga dimensi, selalu pastikan untuk menggunakan sudut yang tepat terhadap setiap sumbu saat menghitung komponen-komponen vektor.