Sebuah A⃗ membuat sudut 30o dengan vektor satuan i⃗ dan 60o dengan vektor satuan j⃗, tentukan:a. Sudut yang dibentuk oleh A⃗ dengan vektor satuan k⃗⃗

b. Vektor satuan dari A⃗

c. A⃗ dengan |A⃗| = 4

Diberikan vektor \( \vec{A} \) yang membentuk sudut 30° dengan vektor satuan \( \hat{i} \) (sumbu-x) dan sudut 60° dengan vektor satuan \( \hat{j} \) (sumbu-y), mari kita selesaikan pertanyaan ini langkah demi langkah.

### a. Sudut yang dibentuk oleh \( \vec{A} \) dengan vektor satuan \( \hat{k} \) (sumbu-z)

Gunakan fakta bahwa:

\[
\cos^2 \theta_x + \cos^2 \theta_y + \cos^2 \theta_z = 1
\]
dimana \( \theta_x = 30^\circ \), \( \theta_y = 60^\circ \), dan \( \theta_z \) adalah sudut yang dibentuk oleh \( \vec{A} \) dengan \( \hat{k} \).

Langkah-langkah perhitungannya:

\[
\cos^2(30^\circ) = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4}
\]
\[
\cos^2(60^\circ) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}
\]

Substitusi ke dalam persamaan:

\[
\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta_z = 1
\]

\[
1 + \cos^2 \theta_z = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 \theta_z = 0
\]

Jadi:

\[
\cos \theta_z = 0 \quad \Rightarrow \quad \theta_z = 90^\circ
\]

Jadi sudut yang dibentuk oleh \( \vec{A} \) dengan \( \hat{k} \) adalah **90°**.

### b. Vektor satuan dari \( \vec{A} \)

Vektor satuan adalah \( \hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} \). Karena kita tahu sudut-sudutnya, kita bisa mengekspresikan komponen vektor \( \vec{A} \) dalam sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z menggunakan nilai cosinus dari sudut-sudut tersebut:

\[
\hat{A} = \cos(30^\circ) \hat{i} + \cos(60^\circ) \hat{j} + \cos(90^\circ) \hat{k}
\]

Menghitung cosinus dari sudut-sudut tersebut:

\[
\hat{A} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 0 \hat{k}
\]

Jadi, vektor satuan dari \( \vec{A} \) adalah:

\[
\hat{A} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}
\]

### c. \( \vec{A} \) dengan \( |\vec{A}| = 4 \)

Untuk vektor \( \vec{A} \) dengan panjang 4, kita tinggal mengalikan vektor satuan \( \hat{A} \) dengan panjang \( |\vec{A}| = 4 \):

\[
\vec{A} = 4 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} \right)
\]

Hasilnya adalah:

\[
\vec{A} = 2\sqrt{3} \hat{i} + 2 \hat{j}
\]

### Kesimpulan:
- a. Sudut antara \( \vec{A} \) dan \( \hat{k} \) adalah **90°**.
- b. Vektor satuan \( \hat{A} \) adalah \( \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} \).
- c. Vektor \( \vec{A} \) dengan panjang 4 adalah \( 2\sqrt{3} \hat{i} + 2 \hat{j} \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau ada pertanyaan lainnya? Berikut 5 pertanyaan yang relevan untuk memperdalam pemahaman:

1. Bagaimana cara menentukan komponen vektor dalam ruang tiga dimensi?
2. Apa fungsi dari vektor satuan dalam penghitungan vektor?
3. Mengapa identitas \( \cos^2 \theta_x + \cos^2 \theta_y + \cos^2 \theta_z = 1 \) berlaku dalam ruang tiga dimensi?
4. Bagaimana penggunaan vektor dalam fisika untuk menghitung resultan gaya?
5. Bagaimana cara menentukan vektor satuan jika sudut yang diketahui lebih dari tiga?

**Tip:** Ketika bekerja dengan vektor di ruang tiga dimensi, selalu pastikan untuk menggunakan sudut yang tepat terhadap setiap sumbu saat menghitung komponen-komponen vektor.

Sebuah A⃗ membuat sudut 30° dengan vektor satuan i⃗ dan 60° dengan vektor satuan j⃗, tentukan:
a. Sudut yang dibentuk oleh A⃗ dengan vektor satuan k⃗
b. Vektor satuan dari A⃗
c. A⃗ dengan |A⃗| = 4

Solve a vector problem where vector A forms 30° with î and 60° with ĵ. Learn how to calculate the angle with k̂, find the unit vector of A, and express A with a magnitude of 4. Key concepts include vector geometry and trigonometry, suitable for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation