Diberikan sebuah vektor $\vec{A}$ yang membuat sudut 30° dengan vektor satuan $\hat{i}$ (sumbu x) dan sudut 60° dengan vektor satuan $\hat{j}$ (sumbu y). Mari kita hitung:

a. Sudut yang dibentuk oleh $\vec{A}$ dengan vektor satuan $\hat{k}$ (sumbu z)

Kita bisa menggunakan konsep bahwa jumlah kuadrat dari proyeksi komponen vektor $\vec{A}$ pada sumbu x, y, dan z adalah 1 (karena ini adalah vektor satuan). Artinya:

$\cos^2(\theta_x) + \cos^2(\theta_y) + \cos^2(\theta_z) = 1$

Dengan $\theta_x = 30^\circ$ dan $\theta_y = 60^\circ$, kita substitusi nilai cosinus:

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Sehingga:

$\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \cos^2(\theta_z) = 1$

$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2(\theta_z) = 1$

$1 + \cos^2(\theta_z) = 1$

$\cos^2(\theta_z) = 0$

$\cos(\theta_z) = 0$

Jadi, $\theta_z = 90^\circ$.

b. Vektor satuan dari $\vec{A}$

Komponen-komponen vektor $\vec{A}$ dapat dinyatakan dalam bentuk:

$\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$

Karena $\cos(\theta_x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ dan $\cos(\theta_y) = \frac{1}{2}$, kita bisa menulis vektor satuan $\hat{A}$ sebagai:

$\hat{A} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 0 \hat{k}$

Jadi, vektor satuan dari $\vec{A}$ adalah:

$\hat{A} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}$

c. Vektor $\vec{A}$ dengan $|\vec{A}| = 4$

Untuk mendapatkan vektor $\vec{A}$ dengan panjang 4, kita cukup mengalikan vektor satuan $\hat{A}$ dengan 4:

$\vec{A} = 4 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} \right)$

$\vec{A} = 2\sqrt{3} \hat{i} + 2 \hat{j}$

Jadi, vektor $\vec{A}$ dengan panjang 4 adalah:

$\vec{A} = 2\sqrt{3} \hat{i} + 2 \hat{j}$

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan sudut antara dua vektor dalam ruang tiga dimensi?
2. Apa itu vektor satuan dan bagaimana cara menghitungnya?
3. Mengapa proyeksi vektor pada sumbu-sumbu ortogonal mengikuti aturan $\cos^2$?
4. Bagaimana cara menghitung panjang vektor dalam ruang tiga dimensi?
5. Apa aplikasi praktis dari proyeksi vektor dalam fisika?

Tip: Saat bekerja dengan vektor dalam ruang tiga dimensi, visualisasi komponen-komponen vektor sangat membantu dalam memahami pergerakan atau posisi objek.