Sebuah 𝐴⃗ membuat sudut 30o dengan vektor satuan 𝑖⃗ dan 60o dengan vektor satuan 𝑗⃗, tentukan:
a. Sudut yang dibentuk oleh 𝐴⃗ dengan vektor satuan 𝑘⃗⃗
b. Vektor satuan dari 𝐴⃗
c. 𝐴⃗ dengan |𝐴⃗| = 4

Diberikan sebuah vektor \( \vec{A} \) yang membuat sudut 30° dengan vektor satuan \( \hat{i} \) (sumbu x) dan sudut 60° dengan vektor satuan \( \hat{j} \) (sumbu y). Mari kita hitung:

### a. Sudut yang dibentuk oleh \( \vec{A} \) dengan vektor satuan \( \hat{k} \) (sumbu z)
Kita bisa menggunakan konsep bahwa jumlah kuadrat dari proyeksi komponen vektor \( \vec{A} \) pada sumbu x, y, dan z adalah 1 (karena ini adalah vektor satuan). Artinya:

\[
\cos^2(\theta_x) + \cos^2(\theta_y) + \cos^2(\theta_z) = 1
\]

Dengan \( \theta_x = 30^\circ \) dan \( \theta_y = 60^\circ \), kita substitusi nilai cosinus:

\[
\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}
\]

Sehingga:

\[
\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \cos^2(\theta_z) = 1
\]

\[
\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2(\theta_z) = 1
\]

\[
1 + \cos^2(\theta_z) = 1
\]

\[
\cos^2(\theta_z) = 0
\]

\[
\cos(\theta_z) = 0
\]

Jadi, \( \theta_z = 90^\circ \).

### b. Vektor satuan dari \( \vec{A} \)
Komponen-komponen vektor \( \vec{A} \) dapat dinyatakan dalam bentuk:

\[
\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}
\]

Karena \( \cos(\theta_x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) dan \( \cos(\theta_y) = \frac{1}{2} \), kita bisa menulis vektor satuan \( \hat{A} \) sebagai:

\[
\hat{A} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 0 \hat{k}
\]

Jadi, vektor satuan dari \( \vec{A} \) adalah:

\[
\hat{A} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}
\]

### c. Vektor \( \vec{A} \) dengan \( |\vec{A}| = 4 \)
Untuk mendapatkan vektor \( \vec{A} \) dengan panjang 4, kita cukup mengalikan vektor satuan \( \hat{A} \) dengan 4:

\[
\vec{A} = 4 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} \right)
\]

\[
\vec{A} = 2\sqrt{3} \hat{i} + 2 \hat{j}
\]

Jadi, vektor \( \vec{A} \) dengan panjang 4 adalah:

\[
\vec{A} = 2\sqrt{3} \hat{i} + 2 \hat{j}
\]

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menentukan sudut antara dua vektor dalam ruang tiga dimensi?
2. Apa itu vektor satuan dan bagaimana cara menghitungnya?
3. Mengapa proyeksi vektor pada sumbu-sumbu ortogonal mengikuti aturan \( \cos^2 \)?
4. Bagaimana cara menghitung panjang vektor dalam ruang tiga dimensi?
5. Apa aplikasi praktis dari proyeksi vektor dalam fisika?

**Tip**: Saat bekerja dengan vektor dalam ruang tiga dimensi, visualisasi komponen-komponen vektor sangat membantu dalam memahami pergerakan atau posisi objek.

Sebuah 𝐴⃗ membuat sudut 30o dengan vektor satuan 𝑖⃗ dan 60o dengan vektor satuan 𝑗⃗, tentukan: a. Sudut yang dibentuk oleh 𝐴⃗ dengan vektor satuan 𝑘⃗⃗ b. Vektor satuan dari 𝐴⃗ c. 𝐴⃗ dengan |𝐴⃗| = 4

Solve for the angle between vector A and the z-axis, find the unit vector of A, and calculate the vector A with a magnitude of 4. This 3D vector problem applies trigonometry and vector geometry to solve each part, suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation