Math Problem Statement

Sebuah 𝐴⃗ membuat sudut 30o dengan vektor satuan 𝑖⃗ dan 60o dengan vektor satuan 𝑗⃗, tentukan: a. Sudut yang dibentuk oleh 𝐴⃗ dengan vektor satuan π‘˜βƒ—βƒ— b. Vektor satuan dari 𝐴⃗ c. 𝐴⃗ dengan |𝐴⃗| = 4

Solution

Diberikan sebuah vektor A⃗\vec{A} yang membuat sudut 30° dengan vektor satuan i^\hat{i} (sumbu x) dan sudut 60° dengan vektor satuan j^\hat{j} (sumbu y). Mari kita hitung:

a. Sudut yang dibentuk oleh A⃗\vec{A} dengan vektor satuan k^\hat{k} (sumbu z)

Kita bisa menggunakan konsep bahwa jumlah kuadrat dari proyeksi komponen vektor A⃗\vec{A} pada sumbu x, y, dan z adalah 1 (karena ini adalah vektor satuan). Artinya:

cos⁑2(θx)+cos⁑2(θy)+cos⁑2(θz)=1\cos^2(\theta_x) + \cos^2(\theta_y) + \cos^2(\theta_z) = 1

Dengan θx=30∘\theta_x = 30^\circ dan θy=60∘\theta_y = 60^\circ, kita substitusi nilai cosinus:

cos⁑(30∘)=32,cos⁑(60∘)=12\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}

Sehingga:

(32)2+(12)2+cos⁑2(θz)=1\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \cos^2(\theta_z) = 1

34+14+cos⁑2(θz)=1\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2(\theta_z) = 1

1+cos⁑2(θz)=11 + \cos^2(\theta_z) = 1

cos⁑2(θz)=0\cos^2(\theta_z) = 0

cos⁑(θz)=0\cos(\theta_z) = 0

Jadi, θz=90∘\theta_z = 90^\circ.

b. Vektor satuan dari A⃗\vec{A}

Komponen-komponen vektor A⃗\vec{A} dapat dinyatakan dalam bentuk:

A⃗=Axi^+Ayj^+Azk^\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}

Karena cos⁑(θx)=32\cos(\theta_x) = \frac{\sqrt{3}}{2} dan cos⁑(θy)=12\cos(\theta_y) = \frac{1}{2}, kita bisa menulis vektor satuan A^\hat{A} sebagai:

A^=32i^+12j^+0k^\hat{A} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 0 \hat{k}

Jadi, vektor satuan dari A⃗\vec{A} adalah:

A^=32i^+12j^\hat{A} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}

c. Vektor Aβƒ—\vec{A} dengan ∣Aβƒ—βˆ£=4|\vec{A}| = 4

Untuk mendapatkan vektor A⃗\vec{A} dengan panjang 4, kita cukup mengalikan vektor satuan A^\hat{A} dengan 4:

A⃗=4(32i^+12j^)\vec{A} = 4 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} \right)

A⃗=23i^+2j^\vec{A} = 2\sqrt{3} \hat{i} + 2 \hat{j}

Jadi, vektor A⃗\vec{A} dengan panjang 4 adalah:

A⃗=23i^+2j^\vec{A} = 2\sqrt{3} \hat{i} + 2 \hat{j}


Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait:

  1. Bagaimana cara menentukan sudut antara dua vektor dalam ruang tiga dimensi?
  2. Apa itu vektor satuan dan bagaimana cara menghitungnya?
  3. Mengapa proyeksi vektor pada sumbu-sumbu ortogonal mengikuti aturan cos⁑2\cos^2?
  4. Bagaimana cara menghitung panjang vektor dalam ruang tiga dimensi?
  5. Apa aplikasi praktis dari proyeksi vektor dalam fisika?

Tip: Saat bekerja dengan vektor dalam ruang tiga dimensi, visualisasi komponen-komponen vektor sangat membantu dalam memahami pergerakan atau posisi objek.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Vector Geometry
Trigonometry
3D Coordinate Geometry

Formulas

cos^2(ΞΈ_x) + cos^2(ΞΈ_y) + cos^2(ΞΈ_z) = 1
Unit vector: A = A_x * i + A_y * j + A_z * k
Vector magnitude: A = |A| * unit vector

Theorems

Pythagorean theorem in 3D
Trigonometric identities

Suitable Grade Level

Grades 10-12