Para resolver este problema, utilizaremos las leyes de flotación y el principio de Arquímedes. Sabemos que un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de empuje igual al peso del fluido desplazado. Con los datos proporcionados, planteamos las ecuaciones necesarias para determinar el volumen ($V$) y la densidad ($\rho_b$) del bloque.

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Datos:

• Densidad del etanol: $\rho_e = 800 \, \text{kg/m}^3$
• Densidad del agua: $\rho_a = 1000 \, \text{kg/m}^3$
• Fuerza adicional en etanol: $F_e = 6 \, \text{N}$
• Fuerza adicional en agua: $F_a = 8 \, \text{N}$
• Gravedad: $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$

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Variables:

• Volumen del bloque: $V$
• Densidad del bloque: $\rho_b$

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Procedimiento:

1. Fuerza adicional requerida:

La fuerza adicional ($F$) para mantener el bloque sumergido se debe a la diferencia entre el peso del bloque ($W$) y el empuje del fluido ($E$):

$F = W - E$

Donde: $W = \rho_b V g$ $E = \rho_{\text{fluido}} V g$

Por lo tanto: $F = \rho_b V g - \rho_{\text{fluido}} V g$ $F = V g (\rho_b - \rho_{\text{fluido}})$

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2. Ecuaciones para etanol y agua:

• Para etanol: $F_e = V g (\rho_b - \rho_e)$

• Para agua: $F_a = V g (\rho_b - \rho_a)$

Dividiendo ambas ecuaciones por $g$ y reordenando: $\frac{F_e}{g} = V (\rho_b - \rho_e)$ $\frac{F_a}{g} = V (\rho_b - \rho_a)$

Sustituyendo los valores conocidos: $\frac{6}{9.8} = V (\rho_b - 800)$ $\frac{8}{9.8} = V (\rho_b - 1000)$

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3. Resolviendo el sistema de ecuaciones:

Las ecuaciones quedan como: $0.612 = V (\rho_b - 800)$ $0.816 = V (\rho_b - 1000)$

Dividiendo la primera ecuación entre la segunda para eliminar $V$: $\frac{0.612}{0.816} = \frac{\rho_b - 800}{\rho_b - 1000}$

Resolviendo esta relación: $0.75 = \frac{\rho_b - 800}{\rho_b - 1000}$ $0.75 (\rho_b - 1000) = \rho_b - 800$ $0.75 \rho_b - 750 = \rho_b - 800$ $-750 + 800 = \rho_b - 0.75 \rho_b$ $50 = 0.25 \rho_b$ $\rho_b = 200 \, \text{kg/m}^3$

Sustituyendo $\rho_b = 200 \, \text{kg/m}^3$ en una de las ecuaciones para encontrar $V$: $0.612 = V (200 - 800)$ $0.612 = V (-600)$ $V = \frac{0.612}{600} = 0.00102 \, \text{m}^3$

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Respuesta:

• Volumen del bloque: $V = 0.00102 \, \text{m}^3$
• Densidad del bloque: $\rho_b = 200 \, \text{kg/m}^3$

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¿Te gustaría más detalles o explicación sobre algún paso? 😊

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Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la densidad del fluido a la fuerza de empuje en general?
2. ¿Por qué el bloque flota en etanol y en agua con diferente comportamiento?
3. ¿Qué sucede si el bloque tiene la misma densidad que el fluido?
4. ¿Cómo influye la gravedad en la fuerza requerida para mantener el equilibrio?
5. ¿Qué ocurriría si el bloque se colocara en un fluido con densidad mayor que el agua?

Tip:

Para resolver problemas con fluidos, identificar claramente las fuerzas de empuje y peso involucradas es clave para aplicar correctamente el principio de Arquímedes.