Задача требует вычисления двух величин:

1. Среднего ожидаемого числа заявок в день.
2. Вероятности того, что это число заявок будет получено.

1. Среднее ожидаемое число заявок

Для каждого магазина вероятность того, что поступит заявка, равна $0.4$. Количество магазинов — $10$. Пусть $X_i$ — случайная величина, которая равна 1, если от $i$-го магазина поступила заявка, и 0 в противном случае. Тогда $X_i$ — это биномиальная случайная величина с параметрами $n = 1$ (один магазин) и $p = 0.4$ (вероятность заявки от магазина).

Среднее значение $X_i$ (математическое ожидание) для одного магазина:

$E(X_i) = p = 0.4$

Общее количество заявок — это сумма всех $X_i$, то есть:

$X = \sum_{i=1}^{10} X_i$

Среднее ожидаемое количество заявок:

$E(X) = \sum_{i=1}^{10} E(X_i) = 10 \times 0.4 = 4$

То есть среднее ожидаемое количество заявок в день составляет 4.

2. Вероятность того, что будет получено именно это среднее число заявок (то есть ровно 4 заявки)

Количество заявок $X$ можно описать биномиальным распределением с параметрами $n = 10$ (10 магазинов) и $p = 0.4$ (вероятность заявки от одного магазина). Таким образом, вероятность того, что будет ровно 4 заявки, равна:

$P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot p^4 \cdot (1-p)^{10-4}$

где $\binom{10}{4}$ — это число сочетаний из 10 по 4, а $p = 0.4$.

Для вычисления:

$\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

Теперь вычислим $P(X = 4)$:

$P(X = 4) = 210 \times (0.4)^4 \times (0.6)^6$

$P(X = 4) = 210 \times 0.0256 \times 0.046656 = 210 \times 0.001194 = 0.25074$

Таким образом, вероятность того, что будет получено ровно 4 заявки в день, составляет примерно 0.2507.

Ответ:

1. Среднее ожидаемое количество заявок в день — 4.
2. Вероятность того, что будет получено ровно 4 заявки, — 0.2507 (или около 25%).

Есть ли что-то, что нужно разъяснить или дополнить?

Дополнительные вопросы:

1. Как изменится вероятность, если вероятность заявки от каждого магазина будет изменена на 0.3 или 0.5?
2. Что произойдёт, если количество магазинов увеличится до 20?
3. Как вычислить стандартное отклонение для биномиального распределения в данной задаче?
4. Как определить вероятность того, что заявок будет больше 5 в день?
5. В чём разница между биномиальным распределением и распределением Пуассона, и когда применяются эти модели?

Совет: Для расчёта вероятности в задачах с биномиальным распределением можно использовать калькуляторы или таблицы биномиальных коэффициентов для быстроты!