Masalah ini merupakan contoh penerapan distribusi binomial, di mana terdapat dua hasil kemungkinan untuk setiap item (cacat atau tidak cacat). Distribusi binomial digunakan untuk menghitung peluang dalam percobaan dengan beberapa ulangan (di sini 100 barang), di mana setiap ulangan memiliki peluang sukses (barang cacat) yang konstan.

Diketahui:

• Peluang barang cacat $p = 10\% = 0.1$
• Peluang barang tidak cacat $q = 1 - p = 0.9$
• Banyaknya barang yang diambil $n = 100$

Distribusi binomial didefinisikan sebagai: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}$ di mana:

• $P(X = k)$ adalah peluang ada tepat $k$ barang cacat.
• $n = 100$ (jumlah barang yang diambil).
• $k$ adalah jumlah barang cacat yang diinginkan.
• $p = 0.1$ (peluang barang cacat).

Sekarang kita akan menghitung peluang masing-masing bagian soal.

a) Peluang tepat 10 barang cacat

Untuk $k = 10$:

$P(X = 10) = \binom{100}{10} (0.1)^{10} (0.9)^{90}$

b) Peluang antara 5 s/d 10 barang cacat

Untuk peluang antara 5 sampai 10 cacat, kita akan menjumlahkan peluang untuk $k = 5, 6, 7, 8, 9, 10$:

$P(5 \leq X \leq 10) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)$

c) Peluang cacat lebih dari 14

Untuk ini, kita menghitung peluang cacat lebih dari 14, yaitu: $P(X > 14) = 1 - P(X \leq 14)$ Yang berarti kita harus menghitung $P(X \leq 14)$, yaitu menjumlahkan semua peluang dari $P(X = 0)$ sampai $P(X = 14)$, dan kemudian mengurangkannya dari 1.

Mari saya hitung semua peluang ini.Berikut adalah hasil peluang yang dihitung:

a) Peluang tepat 10 barang cacat: $P(X = 10) = 0.1319$ (sekitar 13.19%)

b) Peluang antara 5 s/d 10 barang cacat: $P(5 \leq X \leq 10) = 0.5594$ (sekitar 55.94%)

c) Peluang banyaknya cacat melebihi 14: $P(X > 14) = 0.0726$ (sekitar 7.26%)

Apakah ada penjelasan lebih lanjut yang Anda butuhkan?

Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa membantu memperdalam pemahaman:

1. Bagaimana jika probabilitas cacat berubah menjadi 15%? Bagaimana peluangnya berubah?
2. Bagaimana cara menghitung variansi dan simpangan baku dari distribusi binomial ini?
3. Bagaimana jika kita ingin menghitung peluang untuk tepat 20 barang cacat?
4. Apa bedanya distribusi binomial dengan distribusi normal untuk data besar seperti ini?
5. Bagaimana cara pendekatan dengan distribusi normal untuk soal ini?

Tip: Dalam distribusi binomial, semakin besar jumlah percobaan, distribusinya mulai mendekati distribusi normal jika parameter tertentu dipenuhi.