Math Problem Statement

Пусть xPy на множестве студентов означает, что x учится на курсе, не младше, чем y. К какому классу бинарных отношений принадлежит P?

Solution

Давайте проанализируем свойства бинарного отношения PP, заданного как xPyxPy, если студент xx учится на курсе, не младше, чем студент yy.

1. Рефлексивность

Отношение PP рефлексивно, так как любой студент xx учится на курсе, не младше, чем сам. То есть xPxxPx верно.

2. Антирефлексивность

Антирефлексивность не выполняется, так как для любого xx, xPxxPx выполняется.

3. Симметричность

Отношение PP не симметрично. Если xx учится на курсе, не младше, чем yy, то из этого не следует, что yy учится на курсе, не младше, чем xx.

4. Антисимметричность

Отношение PP антисимметрично. Если xPyxPy (то есть xx учится на курсе, не младше, чем yy) и одновременно yPxyPx (то есть yy учится на курсе, не младше, чем xx), это возможно только если xx и yy учатся на одном курсе. Таким образом, x=yx = y.

5. Транзитивность

Отношение PP транзитивно. Если xPyxPy (то есть xx учится на курсе, не младше, чем yy) и yPzyPz (то есть yy учится на курсе, не младше, чем zz), то xPzxPz.

Итог

Отношение PP является предпорядком (preorder), так как оно:

  1. Рефлексивно.
  2. Транзитивно.

Краткий вывод: PP — отношение предпорядка.

Если есть вопросы или требуется больше деталей, дайте знать!

5 вопросов для размышления:

  1. Что изменится, если отношение PP будет определено как "учится на курсе строго старше"?
  2. Почему PP не является отношением эквивалентности?
  3. Каково значение транзитивности в контексте данного определения PP?
  4. Могут ли свойства отношения PP измениться при другой интерпретации курсов?
  5. Как формализовать бинарное отношение PP в виде графа?

Совет:

Всегда проверяйте свойства отношения (рефлексивность, симметричность, транзитивность), чтобы правильно классифицировать его тип.