Чтобы проверить, является ли бинарное отношение отношением эквивалентности, оно должно удовлетворять трём свойствам:

1. Рефлексивность: Каждый элемент множества должен быть в отношении с самим собой. Формально: $(a, a) \in \mathcal{R}$ для всех $a \in \{1, 2, 3\}$.
2. Симметричность: Если $(a, b) \in \mathcal{R}$, то и $(b, a) \in \mathcal{R}$.
3. Транзитивность: Если $(a, b) \in \mathcal{R}$ и $(b, c) \in \mathcal{R}$, то $(a, c) \in \mathcal{R}$.

Теперь проверим эти свойства для отношения $\mathcal{R}_1$:

1. Рефлексивность:

   • Элементы множества: {1, 2, 3}.
   • Отношения: $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(3, 3)$.
   • Все элементы имеют отношение с самими собой, следовательно, рефлексивность выполнена.

2. Симметричность:

   • Проверим, что для каждого $(a, b) \in \mathcal{R}_1$, также существует $(b, a) \in \mathcal{R}_1$:
     • $(1, 1) \in \mathcal{R}_1$ и $(1, 1) \in \mathcal{R}_1$ — верно.
     • $(2, 2) \in \mathcal{R}_1$ и $(2, 2) \in \mathcal{R}_1$ — верно.
     • $(3, 3) \in \mathcal{R}_1$ и $(3, 3) \in \mathcal{R}_1$ — верно.
     • $(1, 2) \in \mathcal{R}_1$ и $(2, 1) \in \mathcal{R}_1$ — верно.
     • $(2, 1) \in \mathcal{R}_1$ и $(1, 2) \in \mathcal{R}_1$ — верно.
     • $(2, 3) \in \mathcal{R}_1$ и $(3, 2) \in \mathcal{R}_1$ — верно.
     • $(3, 2) \in \mathcal{R}_1$ и $(2, 3) \in \mathcal{R}_1$ — верно.
   • Все пары симметричны, значит, симметричность выполнена.

3. Транзитивность:

   • Проверим все возможные комбинации для транзитивности:
     • Если $(1, 2) \in \mathcal{R}_1$ и $(2, 3) \in \mathcal{R}_1$, то $(1, 3)$ должно быть в $\mathcal{R}_1$, но его нет.
   • Отношение не транзитивно, так как не все необходимые пары присутствуют.

Так как отношение $\mathcal{R}_1$ не является транзитивным, оно не является отношением эквивалентности.

Ответ: Отношение $\mathcal{R}_1$ не является отношением эквивалентности.

Хотите более подробное объяснение или есть еще вопросы?

Вот 5 связанных вопросов для дальнейшего изучения:

1. Что изменилось бы в отношении $\mathcal{R}_1$, чтобы оно стало отношением эквивалентности?
2. Как выглядят классы эквивалентности, если отношение является отношением эквивалентности?
3. Какие типы бинарных отношений существуют, кроме отношений эквивалентности?
4. Можно ли построить матрицу смежности для бинарного отношения? Как она будет выглядеть для $\mathcal{R}_1$?
5. Как проверить транзитивность на графе, который представляет бинарное отношение?

Совет: При проверке транзитивности всегда убедитесь, что для всех пар $(a, b)$ и $(b, c)$ в отношении также присутствует пара $(a, c)$.