Um bijektive Funktionen $f : (0, 1) \rightarrow M$ für die gegebenen Mengen $M$ anzugeben, wollen wir für jede Funktion sicherstellen, dass sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Aufgabe a: $M = (-3, 7)$

Für $M = (-3, 7)$ können wir eine lineare Transformation verwenden, die das Intervall $(0, 1)$ auf das Intervall $(-3, 7)$ abbildet.

1. Funktion definieren: Wir definieren die Funktion $f(x) = 10x - 3.$

2. Überprüfung der Bijektivität:

   • Injektivität: Da $f(x)$ eine lineare Funktion ist und keine zwei verschiedenen Werte $x_1$ und $x_2$ aus $(0, 1)$ denselben Funktionswert haben können (weil die Steigung 10 ungleich 0 ist), ist $f$ injektiv.
   • Surjektivität: Setzen wir $y \in (-3, 7)$, dann lässt sich $y$ durch $x$ so ausdrücken, dass $x = \frac{y + 3}{10}.$ Für alle $y \in (-3, 7)$ liegt der entsprechende Wert $x \in (0, 1)$. Daher ist $f$ auch surjektiv.

Da $f$ injektiv und surjektiv ist, ist $f$ bijektiv.

Aufgabe b: $M = (-\infty, 1)$

Für $M = (-\infty, 1)$ können wir eine Transformation verwenden, die das Intervall $(0, 1)$ auf das Intervall $(-\infty, 1)$ abbildet, zum Beispiel mit einer Funktion, die eine Asymptote bei 1 hat.

1. Funktion definieren: Wir definieren $f(x) = 1 - \frac{1}{x}.$

2. Überprüfung der Bijektivität:

   • Injektivität: Da die Funktion streng monoton ist (fällt für $x \in (0, 1)$), ist $f$ injektiv.
   • Surjektivität: Für jedes $y \in (-\infty, 1)$ können wir ein $x \in (0, 1)$ finden, so dass $x = \frac{1}{1 - y}.$ Da $y < 1$, ist der Bruch $\frac{1}{1 - y}$ stets positiv und liegt in $(0, 1)$. Somit ist $f$ surjektiv.

Da $f$ injektiv und surjektiv ist, ist $f$ bijektiv.

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Weitere Fragen zum Thema:

1. Wie zeigt man allgemein, dass eine Funktion bijektiv ist?
2. Wie würde man eine Funktion für $M = (-2, 5)$ finden?
3. Was sind die Eigenschaften einer linearen Abbildung, die Bijektivität garantiert?
4. Wie kann man eine Funktion für $M = (0, \infty)$ definieren?
5. Warum ist die Wahl der Asymptote bei $x = 1$ sinnvoll für das Intervall $(-\infty, 1)$?

Tipp: Bei der Konstruktion bijektiver Funktionen hilft es oft, an lineare Transformationen für endliche Intervalle und an asymptotische Funktionen für unendliche Intervalle zu denken.