Geben Sie für folgende Mengen M jeweils eine bijektive Funktion f : (0, 1) → M
an.
a) M = (−3, 7)
b) M = (−∞, 1)
Begrunden Sie, dass die von Ihnen angegebenen Funktionen tatsächlich bijektiv sind.

Um bijektive Funktionen \( f : (0, 1) \rightarrow M \) für die gegebenen Mengen \( M \) anzugeben, wollen wir für jede Funktion sicherstellen, dass sie sowohl *injektiv* als auch *surjektiv* ist.

### Aufgabe a: \( M = (-3, 7) \)

Für \( M = (-3, 7) \) können wir eine lineare Transformation verwenden, die das Intervall \( (0, 1) \) auf das Intervall \( (-3, 7) \) abbildet.

1. **Funktion definieren:** Wir definieren die Funktion
   \[
   f(x) = 10x - 3.
   \]

2. **Überprüfung der Bijektivität:**
   - **Injektivität:** Da \( f(x) \) eine lineare Funktion ist und keine zwei verschiedenen Werte \( x_1 \) und \( x_2 \) aus \( (0, 1) \) denselben Funktionswert haben können (weil die Steigung 10 ungleich 0 ist), ist \( f \) injektiv.
   - **Surjektivität:** Setzen wir \( y \in (-3, 7) \), dann lässt sich \( y \) durch \( x \) so ausdrücken, dass
     \[
     x = \frac{y + 3}{10}.
     \]
     Für alle \( y \in (-3, 7) \) liegt der entsprechende Wert \( x \in (0, 1) \). Daher ist \( f \) auch surjektiv.

Da \( f \) injektiv und surjektiv ist, ist \( f \) bijektiv.

### Aufgabe b: \( M = (-\infty, 1) \)

Für \( M = (-\infty, 1) \) können wir eine Transformation verwenden, die das Intervall \( (0, 1) \) auf das Intervall \( (-\infty, 1) \) abbildet, zum Beispiel mit einer Funktion, die eine Asymptote bei 1 hat.

1. **Funktion definieren:** Wir definieren
   \[
   f(x) = 1 - \frac{1}{x}.
   \]

2. **Überprüfung der Bijektivität:**
   - **Injektivität:** Da die Funktion streng monoton ist (fällt für \( x \in (0, 1) \)), ist \( f \) injektiv.
   - **Surjektivität:** Für jedes \( y \in (-\infty, 1) \) können wir ein \( x \in (0, 1) \) finden, so dass
     \[
     x = \frac{1}{1 - y}.
     \]
     Da \( y < 1 \), ist der Bruch \( \frac{1}{1 - y} \) stets positiv und liegt in \( (0, 1) \). Somit ist \( f \) surjektiv.

Da \( f \) injektiv und surjektiv ist, ist \( f \) bijektiv.

---

Möchten Sie detaillierte Erklärungen oder haben Sie Fragen zu bestimmten Schritten?

**Weitere Fragen zum Thema:**
1. Wie zeigt man allgemein, dass eine Funktion bijektiv ist?
2. Wie würde man eine Funktion für \( M = (-2, 5) \) finden?
3. Was sind die Eigenschaften einer linearen Abbildung, die Bijektivität garantiert?
4. Wie kann man eine Funktion für \( M = (0, \infty) \) definieren?
5. Warum ist die Wahl der Asymptote bei \( x = 1 \) sinnvoll für das Intervall \( (-\infty, 1) \)?

**Tipp:** Bei der Konstruktion bijektiver Funktionen hilft es oft, an lineare Transformationen für endliche Intervalle und an asymptotische Funktionen für unendliche Intervalle zu denken.

Geben Sie für folgende Mengen M jeweils eine bijektive Funktion f : (0, 1) → M an. a) M = (−3, 7) b) M = (−∞, 1) Begrunden Sie, dass die von Ihnen angegebenen Funktionen tatsächlich bijektiv sind.

Understand how to find bijective functions from (0, 1) to intervals (-3, 7) and (-∞, 1) with clear steps on proving injectivity and surjectivity. This solution involves interval transformations and asymptotic functions, suitable for real analysis.

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