Voici les réponses aux questions de l'exercice :

1. $f(x+1) = (x+1)f(x)$

   • Vrai : Il s'agit de la relation de récurrence de la fonction factorielle, définie par $f(x) = x!$.

2. $0! = 1$

   • Vrai : Par convention, $0! = 1$, ce qui est cohérent avec la définition de la factorielle.

3. $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{2}$

   • Vrai : C'est une intégrale connue, obtenue en posant $x = \tan \theta$, ce qui donne $\int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}$.

4. $B(\alpha,1) = \frac{1}{\alpha}$

   • Faux : La formule de la fonction Beta donne $B(\alpha,1) = \int_0^1 x^{\alpha-1} dx = \frac{1}{\alpha}$, donc cela dépend de $\alpha$.

5. $B(\alpha,\beta) = B(\beta,\alpha)$

   • Vrai : La fonction Beta est symétrique par définition.

6. $B(\alpha,\beta) = \int_{0}^{\infty} \frac{u^{\alpha-1}}{(1+u)^{\alpha+\beta}} du$

   • Vrai : C'est une autre forme intégrale bien connue de la fonction Beta.

7. $B(\alpha,\beta) = \frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 1} B(\alpha -1, \beta + 1)$

   • Vrai : Il s'agit d'une relation de récurrence de la fonction Beta.

8. $B(n,m) = \frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m-2)!}$ pour tous entiers $n$ et $m$

   • Vrai : En utilisant la relation entre Beta et Gamma : $B(n,m) = \frac{\Gamma(n)\Gamma(m)}{\Gamma(n+m)}$, et en remplaçant par la définition de la factorielle.

9. $\Gamma(a+1) = a\Gamma(a)$

   • Vrai : Il s'agit de la relation fonctionnelle de la fonction Gamma.

10. $\Gamma(n+1) = n!$ pour tout entier $n$

• Vrai : Par définition de la fonction Gamma pour les entiers.

11. $\Gamma(r) = \int_{0}^{\infty} x^{r-1} \ln(x)e^{-x} dx$

• Faux : La définition correcte de la fonction Gamma est $\Gamma(r) = \int_{0}^{\infty} x^{r-1} e^{-x} dx$, sans le $\ln(x)$.

Questions associées :

1. Comment prouver la symétrie de la fonction Beta ?
2. Quelle est la relation entre la fonction Gamma et la fonction factorielle ?
3. Comment démontrer la relation $\Gamma(a+1) = a\Gamma(a)$ ?
4. Quelle est l'interprétation géométrique de la fonction Beta ?
5. Quelle est l'application de la fonction Gamma en statistiques et en probabilité ?

Astuce :

La fonction Beta peut être exprimée en fonction de la fonction Gamma par $B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$.