Math Problem Statement
Mamy dwie symetryczne monety oraz 4 niesymetryczne monety w których orzet wypada z prawdopodobienstwem 60%, a reszka z prawdopodobienstwem 40%. Losujemy jedna monete i rzucamy niz 3 razy. Z tych trzech rzutów wypadt jeden orzet i dwie reszki. Jakie jest prawdopodobienstwo tego, ze wylosowatem symetryczna monete, skoro w 3 rzutach wypadt jeden orzet.
Solution
Rozwiązanie:
Mamy dwie symetryczne monety oraz cztery niesymetryczne monety, gdzie:
- Symetryczna moneta: ,
- Niesymetryczna moneta: , .
Losujemy jedną monetę i rzucamy nią 3 razy. Wynik to 1 orzeł i 2 reszki.
Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowaliśmy symetryczną monetę na podstawie danych wyników.
Rozwiązanie metodą Bayesa
Stosujemy twierdzenie Bayesa:
gdzie:
- : prawdopodobieństwo, że wylosowano symetryczną monetę (a priori),
- : prawdopodobieństwo otrzymania wyników przy założeniu, że mamy symetryczną monetę,
- : łączna szansa uzyskania .
1. Określenie prawdopodobieństw a priori
Liczba monet:
- Symetryczne: 2 sztuki,
- Niesymetryczne: 4 sztuki.
Prawdopodobieństwo wylosowania symetrycznej monety:
Prawdopodobieństwo wylosowania niesymetrycznej monety:
2. Prawdopodobieństwo
Symetryczna moneta ma i .
Prawdopodobieństwo uzyskania 1 orła i 2 reszek (przy 3 rzutach) to:
3. Prawdopodobieństwo
Dla niesymetrycznej monety:
- ,
- .
Prawdopodobieństwo uzyskania 1 orła i 2 reszek:
Obliczamy:
4. Łączne prawdopodobieństwo
Łączne prawdopodobieństwo uzyskania wyników to suma wyników dla obu rodzajów monet (prawo całkowitego prawdopodobieństwa):
Podstawiamy wartości:
Obliczamy poszczególne składniki:
- ,
- .
Sumujemy:
5. Prawdopodobieństwo
Stosujemy twierdzenie Bayesa:
Podstawiamy wartości:
- ,
- ,
- .
Obliczamy licznik:
Dzielimy przez :
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo, że wylosowano symetryczną monetę, wynosi około 0.394 (czyli około 39.4%).
Czy potrzebujesz dodatkowych szczegółów lub rozwinięcia tego rozwiązania?
Powiązane pytania:
- Jak zmieniłoby się prawdopodobieństwo, gdybyśmy mieli 3 niesymetryczne monety zamiast 4?
- Jak obliczyć prawdopodobieństwo, jeśli uzyskano 2 orły i 1 reszkę?
- Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania niesymetrycznej monety przy danych wynikach?
- W jaki sposób zmienia się wynik, gdy prawdopodobieństwo orła w niesymetrycznej monecie to 70%?
- Jak zastosować twierdzenie Bayesa do innych przykładów z rzutami monet?
Wskazówka:
Warto zapamiętać twierdzenie Bayesa, które pozwala aktualizować prawdopodobieństwa na podstawie zaobserwowanych wyników.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Probability
Bayes' Theorem
Combinatorics
Formulas
P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
P(B) = P(B | A) * P(A) + P(B | A^c) * P(A^c)
P(B | A) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Theorems
Bayes' Theorem
Suitable Grade Level
University or Advanced High School (Grades 11-12)
Related Recommendation
Bayes' Theorem: Calculating the Probability Coin B Was Chosen Given a Heads Outcome
Probability of Picking the Biased Coin Given 10 Heads in a Row
Probability Problems Involving Bayes' Theorem and Biased Coins
Conditional Probability with Bayes' Theorem: Two-Headed Coin Problem
Probability Problem with Boxes and Coins: Solving with Bayes' Theorem