Math Problem Statement

Mamy dwie symetryczne monety oraz 4 niesymetryczne monety w których orzet wypada z prawdopodobienstwem 60%, a reszka z prawdopodobienstwem 40%. Losujemy jedna monete i rzucamy niz 3 razy. Z tych trzech rzutów wypadt jeden orzet i dwie reszki. Jakie jest prawdopodobienstwo tego, ze wylosowatem symetryczna monete, skoro w 3 rzutach wypadt jeden orzet.

Solution

Rozwiązanie:

Mamy dwie symetryczne monety oraz cztery niesymetryczne monety, gdzie:

  • Symetryczna moneta: P(orzeł)=P(reszka)=0.5P(\text{orzeł}) = P(\text{reszka}) = 0.5,
  • Niesymetryczna moneta: P(orzeł)=0.6P(\text{orzeł}) = 0.6, P(reszka)=0.4P(\text{reszka}) = 0.4.

Losujemy jedną monetę i rzucamy nią 3 razy. Wynik to 1 orzeł i 2 reszki.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowaliśmy symetryczną monetę na podstawie danych wyników.


Rozwiązanie metodą Bayesa

Stosujemy twierdzenie Bayesa:

P(AB)=P(BA)P(A)P(B),P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)},

gdzie:

  • P(A)P(A): prawdopodobieństwo, że wylosowano symetryczną monetę (a priori),
  • P(BA)P(B | A): prawdopodobieństwo otrzymania wyników (1 orzeł,2 reszki)(1 \text{ orzeł}, 2 \text{ reszki}) przy założeniu, że mamy symetryczną monetę,
  • P(B)P(B): łączna szansa uzyskania (1 orzeł,2 reszki)(1 \text{ orzeł}, 2 \text{ reszki}).

1. Określenie prawdopodobieństw a priori

Liczba monet:

  • Symetryczne: 2 sztuki,
  • Niesymetryczne: 4 sztuki.

Prawdopodobieństwo wylosowania symetrycznej monety:

P(A)=26=13.P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.

Prawdopodobieństwo wylosowania niesymetrycznej monety:

P(Ac)=46=23.P(A^c) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.


2. Prawdopodobieństwo P(BA)P(B | A)

Symetryczna moneta ma P(orzeł)=0.5P(\text{orzeł}) = 0.5 i P(reszka)=0.5P(\text{reszka}) = 0.5.

Prawdopodobieństwo uzyskania 1 orła i 2 reszek (przy 3 rzutach) to:

P(BA)=(31)(0.5)1(0.5)2=30.53=30.125=0.375.P(B | A) = \binom{3}{1} \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^2 = 3 \cdot 0.5^3 = 3 \cdot 0.125 = 0.375.


3. Prawdopodobieństwo P(BAc)P(B | A^c)

Dla niesymetrycznej monety:

  • P(orzeł)=0.6P(\text{orzeł}) = 0.6,
  • P(reszka)=0.4P(\text{reszka}) = 0.4.

Prawdopodobieństwo uzyskania 1 orła i 2 reszek:

P(BAc)=(31)(0.6)1(0.4)2.P(B | A^c) = \binom{3}{1} \cdot (0.6)^1 \cdot (0.4)^2.

Obliczamy:

P(BAc)=30.6(0.4)2=30.60.16=30.096=0.288.P(B | A^c) = 3 \cdot 0.6 \cdot (0.4)^2 = 3 \cdot 0.6 \cdot 0.16 = 3 \cdot 0.096 = 0.288.


4. Łączne prawdopodobieństwo P(B)P(B)

Łączne prawdopodobieństwo uzyskania wyników BB to suma wyników dla obu rodzajów monet (prawo całkowitego prawdopodobieństwa):

P(B)=P(BA)P(A)+P(BAc)P(Ac).P(B) = P(B | A) \cdot P(A) + P(B | A^c) \cdot P(A^c).

Podstawiamy wartości:

P(B)=0.37513+0.28823.P(B) = 0.375 \cdot \frac{1}{3} + 0.288 \cdot \frac{2}{3}.

Obliczamy poszczególne składniki:

  • 0.37513=0.1250.375 \cdot \frac{1}{3} = 0.125,
  • 0.28823=0.1920.288 \cdot \frac{2}{3} = 0.192.

Sumujemy:

P(B)=0.125+0.192=0.317.P(B) = 0.125 + 0.192 = 0.317.


5. Prawdopodobieństwo P(AB)P(A | B)

Stosujemy twierdzenie Bayesa:

P(AB)=P(BA)P(A)P(B).P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)}.

Podstawiamy wartości:

  • P(BA)=0.375P(B | A) = 0.375,
  • P(A)=13P(A) = \frac{1}{3},
  • P(B)=0.317P(B) = 0.317.

P(AB)=0.375130.317.P(A | B) = \frac{0.375 \cdot \frac{1}{3}}{0.317}.

Obliczamy licznik:

0.37513=0.125.0.375 \cdot \frac{1}{3} = 0.125.

Dzielimy przez P(B)P(B):

P(AB)=0.1250.3170.394.P(A | B) = \frac{0.125}{0.317} \approx 0.394.


Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wylosowano symetryczną monetę, wynosi około 0.394 (czyli około 39.4%).


Czy potrzebujesz dodatkowych szczegółów lub rozwinięcia tego rozwiązania?


Powiązane pytania:

  1. Jak zmieniłoby się prawdopodobieństwo, gdybyśmy mieli 3 niesymetryczne monety zamiast 4?
  2. Jak obliczyć prawdopodobieństwo, jeśli uzyskano 2 orły i 1 reszkę?
  3. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania niesymetrycznej monety przy danych wynikach?
  4. W jaki sposób zmienia się wynik, gdy prawdopodobieństwo orła w niesymetrycznej monecie to 70%?
  5. Jak zastosować twierdzenie Bayesa do innych przykładów z rzutami monet?

Wskazówka:

Warto zapamiętać twierdzenie Bayesa, które pozwala aktualizować prawdopodobieństwa na podstawie zaobserwowanych wyników.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Probability
Bayes' Theorem
Combinatorics

Formulas

P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
P(B) = P(B | A) * P(A) + P(B | A^c) * P(A^c)
P(B | A) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Theorems

Bayes' Theorem

Suitable Grade Level

University or Advanced High School (Grades 11-12)