Pour le problème suivant : Un étudiant lance un ballon de basket. Le ballon atteint sa hauteur maximale après 3 secondes. Si la hauteur maximale est de 6 mètres, quelle sera la hauteur du ballon après 1 seconde? Peux-tu évaluer la réponse :

1-Forme de l'équation

Le mouvement du ballon peut être représenté sous la forme d'une fonction quadratique :

\[ h(t) = a(t - h)^2 + k \] Dans notre cas \(h=3\) et \(k=6\). \[ h(t) = a(t - 3)^2 + 6 \] où \(3, 6\) est le sommet de la parabole.

2-Détermination du coefficient

En utilisant \(h=0\) pour représenter le début de la course du ballon à hauteur \(h=0\) au temps \(t=0\), nous avons :

\[ h(0) = 0 \Rightarrow 0 = a(0 - 3)^2 + 6 \] Ce qui donne : \[ 0 = 9a + 6 \] qui se résout en : \[ 9a = -6 \Rightarrow a = -\frac{2}{3} \]

3-Équation finale

L'équation de la hauteur devient : \[ h(t) = -\frac{2}{3}(t - 3)^2 + 6 \]

4-Calcul de la hauteur après 1 seconde

Soit, \(t=1\) : \[ \begin{equation} \begin{split} h(1) & = -\frac{2}{3}(1 - 3)^2 + 6 \ & = -\frac{2}{3}(4) + 6 \ & = -\frac{8}{3} + 6 \ & = \frac{10}{3} \end{split} \end{equation} \]

5-Résultat

La hauteur du ballon après 1 seconde est : \[ h(1) = \frac{10}{3} \text{ mètres} \approx 3.33 \text{ mètres} \]