L'évaluation de la solution présentée pour ce problème semble correcte, mais je vais vérifier chaque étape pour m'assurer de la validité de l'approche.

1. Forme de l'équation

L'étudiant utilise une fonction quadratique de la forme :

$h(t) = a(t - h)^2 + k$

C'est une bonne approche pour modéliser le mouvement parabolique du ballon, où $(h, k)$ est le sommet de la parabole représentant la hauteur maximale atteinte par le ballon au temps $t = h$. Ici, on a $h = 3$ (temps au sommet) et $k = 6$ (hauteur maximale). Cela nous donne bien :

$h(t) = a(t - 3)^2 + 6$

2. Détermination du coefficient $a$

Pour trouver $a$, on utilise l'information que le ballon commence à une hauteur de 0 au temps $t = 0$.

L'équation :

$h(0) = 0 \Rightarrow 0 = a(0 - 3)^2 + 6$

Cela se simplifie en :

$0 = 9a + 6 \quad \text{donc} \quad 9a = -6 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{2}{3}$

Le calcul est correct.

3. Équation finale

En utilisant la valeur de $a$, on obtient l'équation de hauteur :

$h(t) = -\frac{2}{3}(t - 3)^2 + 6$

Cela correspond à une équation valide pour modéliser la trajectoire parabolique du ballon.

4. Calcul de la hauteur après 1 seconde

On remplace $t = 1$ dans l'équation finale :

$h(1) = -\frac{2}{3}(1 - 3)^2 + 6$

Cela se simplifie comme suit :

$h(1) = -\frac{2}{3}(4) + 6 = -\frac{8}{3} + 6 = \frac{18}{3} - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$

Le calcul est correct.

5. Résultat final

La hauteur du ballon après 1 seconde est $h(1) = \frac{10}{3} \text{ mètres} \approx 3.33 \text{ mètres}$. Cela semble cohérent avec la trajectoire parabolique attendue.

Conclusion

La solution présentée est correcte, bien structurée et suit une démarche appropriée. La hauteur calculée du ballon après 1 seconde est bien $\frac{10}{3}$ mètres, soit environ 3,33 mètres.

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Voulez-vous plus de détails sur une partie particulière de la solution ou avez-vous des questions spécifiques ? Voici 5 questions supplémentaires pour approfondir le sujet :

1. Comment pourrait-on adapter cette équation si le ballon est lancé d'une hauteur différente de 0 mètre ?
2. Comment modéliser la hauteur du ballon en fonction d'autres forces comme la résistance de l'air ?
3. Quelle est l'interprétation physique du coefficient $a$ dans cette équation ?
4. Peut-on calculer la vitesse initiale verticale du ballon à partir de cette équation ?
5. Comment trouver le temps que met le ballon à retomber à une hauteur de 0 mètre ?

Tip :

Pour résoudre des équations quadratiques plus complexes, identifier les points clés comme le sommet (valeurs maximales ou minimales) et les points d'intersection avec les axes aide souvent à simplifier les calculs.