Math Problem Statement

מה הפתרון של הבסיס?

מה הפתרון של הבסיס?

Solution

התרגיל מתייחס למטריצה AA ולמציאת מרחב הפתרונות שלה NN, הידוע גם כמרחב האפס של AA. בוא נפתור את השאלות הנוגעות לבסיס BB של NN.

שלב 1: חישוב מרחב האפס NN

המטריצה AA ניתנת:

1 & 8 & 5 & -4 \\ 1 & 8 & 7 & -4 \\ 4 & 32 & 17 & -17 \\ -1 & -8 & 2 & 5 \end{bmatrix}.$$ מרחב האפס מוגדר כקבוצת כל הווקטורים $$x$$ המקיימים $$A x = 0$$. נמצא זאת באמצעות שלבים אלו: 1. **מעבירים את $$A$$ לצורת מדרגות** באמצעות פעולות שורה. 2. פותרים את המערכת $$A x = 0$$ על ידי ביטוי וקטורים תלויים חופשיים. ### שלב 2: פתרון מנתוני השאלה, ידוע ש: - המימד של $$N$$ הוא $$\dim N = 1$$. - כלומר, יש וקטור עצמאי יחיד שמרכיב בסיס למרחב $$N$$. ### שלב 3: בסיס $$B$$ מוצג בבסיס $$B$$ שהווקטור היחיד הוא: $$n_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$ המשמעות היא שכל הפתרונות של המערכת $$A x = 0$$ הם כפולה של $$n_1$$, כלומר: $$x = c \cdot n_1, \quad c \in \mathbb{R}.$$ **סיכום הבסיס:** $$B = \left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}.$$ --- ### שאלות להרחבה: 1. כיצד נמצא את צורת המדרגות של מטריצה כלשהי? 2. מדוע המימד של $$N$$ נקבע לפי מספר העמודות הלא תלויים? 3. מה הקשר בין דרגת מטריצה למימד מרחב האפס שלה? 4. כיצד נקבע הבסיס של מרחב העמודות של מטריצה $$A$$? 5. מהם יישומים פרקטיים של חישוב מרחב אפס? **טיפ:** תמיד בדוק שפתרון $$x$$ שמצאת אכן מקיים $$A x = 0$$ על ידי הצבתו ובדיקת החישוב בפועל.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Null Space
Matrix Operations
Dimension and Basis

Formulas

Ax = 0 (Null Space Definition)
Dimension Formula: dim N = number of free variables

Theorems

Rank-Nullity Theorem

Suitable Grade Level

Undergraduate Level - Linear Algebra Course