Math Problem Statement
מה הפתרון של הבסיס?
מה הפתרון של הבסיס?
Solution
התרגיל מתייחס למטריצה ולמציאת מרחב הפתרונות שלה , הידוע גם כמרחב האפס של . בוא נפתור את השאלות הנוגעות לבסיס של .
שלב 1: חישוב מרחב האפס
המטריצה ניתנת:
1 & 8 & 5 & -4 \\ 1 & 8 & 7 & -4 \\ 4 & 32 & 17 & -17 \\ -1 & -8 & 2 & 5 \end{bmatrix}.$$ מרחב האפס מוגדר כקבוצת כל הווקטורים $$x$$ המקיימים $$A x = 0$$. נמצא זאת באמצעות שלבים אלו: 1. **מעבירים את $$A$$ לצורת מדרגות** באמצעות פעולות שורה. 2. פותרים את המערכת $$A x = 0$$ על ידי ביטוי וקטורים תלויים חופשיים. ### שלב 2: פתרון מנתוני השאלה, ידוע ש: - המימד של $$N$$ הוא $$\dim N = 1$$. - כלומר, יש וקטור עצמאי יחיד שמרכיב בסיס למרחב $$N$$. ### שלב 3: בסיס $$B$$ מוצג בבסיס $$B$$ שהווקטור היחיד הוא: $$n_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$ המשמעות היא שכל הפתרונות של המערכת $$A x = 0$$ הם כפולה של $$n_1$$, כלומר: $$x = c \cdot n_1, \quad c \in \mathbb{R}.$$ **סיכום הבסיס:** $$B = \left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}.$$ --- ### שאלות להרחבה: 1. כיצד נמצא את צורת המדרגות של מטריצה כלשהי? 2. מדוע המימד של $$N$$ נקבע לפי מספר העמודות הלא תלויים? 3. מה הקשר בין דרגת מטריצה למימד מרחב האפס שלה? 4. כיצד נקבע הבסיס של מרחב העמודות של מטריצה $$A$$? 5. מהם יישומים פרקטיים של חישוב מרחב אפס? **טיפ:** תמיד בדוק שפתרון $$x$$ שמצאת אכן מקיים $$A x = 0$$ על ידי הצבתו ובדיקת החישוב בפועל.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Null Space
Matrix Operations
Dimension and Basis
Formulas
Ax = 0 (Null Space Definition)
Dimension Formula: dim N = number of free variables
Theorems
Rank-Nullity Theorem
Suitable Grade Level
Undergraduate Level - Linear Algebra Course