پایداری مجانبی (Asymptotic Stability) به وضعیتی در سیستم‌های دینامیکی اطلاق می‌شود که در آن حالت‌های تعادل (یا نقاط ثابت) از طریق حل معادلات دیفرانسیل توصیف می‌شوند. در این وضعیت، اگر سیستم از یک حالت اولیه نزدیک به نقطه تعادل شروع شود، با گذشت زمان به سمت آن نقطه تعادل میل می‌کند و به آن نزدیک‌تر می‌شود.

تعریف دقیق‌تر:

1. نقطه تعادل: یک نقطه $x^*$ در سیستم به عنوان نقطه تعادل شناخته می‌شود اگر $f(x^*) = 0$، به این معنی که اگر سیستم در این نقطه قرار گیرد، دیگر تغییر نخواهد کرد.
2. پایداری مجانبی: یک نقطه تعادل $x^*$ پایدار مجانبی است اگر برای هر حالت اولیه $x(0)$ نزدیک به $x^*$ (یعنی $|x(0) - x^*| < \epsilon$ برای مقداری کوچک از $\epsilon$)، حالت سیستم $x(t)$ در طول زمان به سمت $x^*$ میل کند (یعنی $\lim_{t \to \infty} x(t) = x^*$).

ویژگی‌ها:

• پایداری مجانبی: در این حالت، کوچک‌ترین اختلال‌ها یا انحراف‌ها از حالت تعادل به سرعت کاهش می‌یابند.
• عدم پایداری مجانبی: در صورتیکه کوچک‌ترین انحراف‌ها منجر به افزایش فاصله از حالت تعادل شوند، نقطه تعادل پایدار مجانبی نخواهد بود.

آیا نیاز به توضیحات بیشتری دارید یا سوال دیگری دارید؟

سوالات مرتبط:

1. چه معادلاتی برای تحلیل پایداری مجانبی استفاده می‌شوند؟
2. چگونه می‌توان پایداری مجانبی را در سیستم‌های خطی بررسی کرد؟
3. مثال‌هایی از سیستم‌های دینامیکی با پایداری مجانبی چیست؟
4. تفاوت پایداری مجانبی با پایداری محلی چیست؟
5. چه تکنیک‌هایی برای تعیین پایداری مجانبی وجود دارد؟

نکته: برای درک بهتر پایداری مجانبی، می‌توانید به بررسی رفتار سیستم‌های ساده مانند نوسانگرها بپردازید.