Për të zgjidhur këtë problem për progresionin aritmetik, ku jepen $u_8 = 26$ dhe $S_5 = 205$, le të analizojmë secilën pjesë në mënyrë të detajuar.

a) Gjeni vlerën e kufizës më të vogël pozitive të këtij progresioni.

Në progresionin aritmetik, kufiza e përgjithshme e progresionit jepet me formulën:

$u_n = u + (n - 1) \cdot d$

Për kufizën e tetë:

$u_8 = u + 7d = 26$

Gjithashtu, shuma e $n$ kufizave të para të progresionit jepet me formulën:

$S_n = \frac{n}{2} \cdot (2u + (n - 1) \cdot d)$

Për shumën e pesë kufizave të para:

$S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2u + 4d) = 205$

Duke zgjidhur këto dy ekuacione për $u$ dhe $d$, gjejmë vlerat për secilin.

Ekuacioni i parë:

$u + 7d = 26$

Ekuacioni i dytë:

$5(2u + 4d) = 410$

Zgjerimi i ekuacionit të dytë na jep:

$2u + 4d = 82$

Duke e zgjidhur sistemin e ekuacioneve për $u$ dhe $d$, do të gjejmë vlerat specifike.

Pas gjetjes së $u$ dhe $d$, mund të kontrollojmë kufizën më të vogël pozitive të këtij progresioni, duke u siguruar që është më e madhe se zero.

b) Gjeni vlerën maksimale të $S_n$

Për të maksimizuar $S_n$, kemi parasysh që $S_n$ është shuma e kufizave të një progresioni aritmetik, dhe kjo shumë do të jetë më e madhe për një $n$ sa më të madh, nëse progresioni është rritës (d.m.th., nëse $d > 0$). Nëse $d < 0$, atëherë shumë më e madhe është për vlerat fillestare të $n$ para se shumat të bëhen negative.