まず、与えられた条件を整理します。

• (i) $\{a(n)\}$ は等差数列です。よって、一般項は次の形になります： $a(n) = a(1) + (n-1)d$ ここで、$a(1)$ は数列の初項、$d$ は公差です。

• (ii) $a(1) = 1$ という条件があるので、一般項は次のように書き直せます： $a(n) = 1 + (n-1)d$

• (iii) $a(1)$ から $a(20)$ までの和が $a(100)$ の値に等しい、という条件です。等差数列の初項から第20項までの和は次の式で求められます： $S_{20} = \frac{20}{2} \times (a(1) + a(20))$ したがって、 $S_{20} = 10 \times (1 + (1 + 19d)) = 10 \times (2 + 19d) = 20 + 190d$

  また、$a(100)$ の値は $a(100) = 1 + 99d$

• 条件 (iii) により、次の等式が成り立ちます： $20 + 190d = 1 + 99d$

• この方程式を解いて $d$ を求めます： $20 + 190d = 1 + 99d$ $190d - 99d = 1 - 20$ $91d = -19$ $d = -\frac{19}{91}$

• $d$ の値が求まりましたので、一般項は次のようになります： $a(n) = 1 + (n-1) \left(-\frac{19}{91}\right)$ したがって、 $a(n) = 1 - \frac{19}{91}(n-1)$ これが求める数列の一般項です。

質問や不明点はありますか？必要に応じて詳細を説明します。

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ヒント

等差数列の和は、初項と末項の平均に項数を掛けることで簡単に求められます。