次の3条件をみたす数列{a(n)}の一般項a(n)を求めよ。　(i){a(n)}は等差数列。　(ii)a(1)=1。  (iii)a(1)からa(20)までの和が、a(100)の値に等しい。

まず、与えられた条件を整理します。

- (i) \( \{a(n)\} \) は等差数列です。よって、一般項は次の形になります：
  \[
  a(n) = a(1) + (n-1)d
  \]
  ここで、\( a(1) \) は数列の初項、\( d \) は公差です。

- (ii) \( a(1) = 1 \) という条件があるので、一般項は次のように書き直せます：
  \[
  a(n) = 1 + (n-1)d
  \]
  
- (iii) \( a(1) \) から \( a(20) \) までの和が \( a(100) \) の値に等しい、という条件です。等差数列の初項から第20項までの和は次の式で求められます：
  \[
  S_{20} = \frac{20}{2} \times (a(1) + a(20))
  \]
  したがって、
  \[
  S_{20} = 10 \times (1 + (1 + 19d)) = 10 \times (2 + 19d) = 20 + 190d
  \]
  
  また、\( a(100) \) の値は
  \[
  a(100) = 1 + 99d
  \]
  
- 条件 (iii) により、次の等式が成り立ちます：
  \[
  20 + 190d = 1 + 99d
  \]
  
- この方程式を解いて \( d \) を求めます：
  \[
  20 + 190d = 1 + 99d
  \]
  \[
  190d - 99d = 1 - 20
  \]
  \[
  91d = -19
  \]
  \[
  d = -\frac{19}{91}
  \]

- \( d \) の値が求まりましたので、一般項は次のようになります：
  \[
  a(n) = 1 + (n-1) \left(-\frac{19}{91}\right)
  \]
  したがって、
  \[
  a(n) = 1 - \frac{19}{91}(n-1)
  \]
  これが求める数列の一般項です。

### 質問や不明点はありますか？必要に応じて詳細を説明します。

#### 関連する質問
1. 等差数列の一般項を求める方法をもう一度説明してください。
2. 和の公式を使うとき、初項と末項が異なる場合の計算方法は？
3. なぜ条件 (iii) が数列の解法に重要なのでしょうか？
4. 数列の公差 \(d\) が負の値を取る場合の意味は？
5. 数列の和に関する別のタイプの問題を解くにはどうしたら良いですか？

#### ヒント
等差数列の和は、初項と末項の平均に項数を掛けることで簡単に求められます。

Solve for the general term of an arithmetic sequence that satisfies three conditions: a(1) = 1, the sum of the first 20 terms equals the value of a(100), and the sequence follows an arithmetic pattern. This step-by-step solution explains the use of arithmetic sequence formulas and linear equations, suitable for high school students.

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