Решение задачи

Дана арифметическая прогрессия, где:

• $a_1 = -1$ (первый член прогрессии),
• $a_5 = 3$ (пятый член прогрессии).

Нужно найти сумму первых 10 членов ($S_{10}$).

1. Формула общего члена арифметической прогрессии

Общий член $a_n$ выражается формулой: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d,$ где $d$ — разность прогрессии.

Для $a_5$: $a_5 = a_1 + (5 - 1) \cdot d.$ Подставим известные значения: $3 = -1 + 4d.$ Решим уравнение: $3 + 1 = 4d \quad \Rightarrow \quad 4 = 4d \quad \Rightarrow \quad d = 1.$

Разность $d = 1$.

2. Формула суммы первых $n$ членов

Сумма $S_n$ первых $n$ членов арифметической прогрессии выражается формулой: $S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n).$

Для $S_{10}$ нам нужно найти $a_{10}$: $a_{10} = a_1 + (10 - 1) \cdot d.$ Подставим значения: $a_{10} = -1 + 9 \cdot 1 = 8.$

Теперь вычислим сумму: $S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (a_1 + a_{10}) = 5 \cdot (-1 + 8) = 5 \cdot 7 = 35.$

Ответ:

$S_{10} = 35.$

---

Хотите подробное объяснение или есть вопросы?

5 дополнительных вопросов:

1. Как вывести формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии?
2. Что изменится в формуле суммы, если разность $d$ будет дробной?
3. Как связаны формулы суммы и общего члена в арифметической прогрессии?
4. Какие свойства арифметической прогрессии позволяют быстро вычислять $S_n$?
5. Как можно использовать арифметическую прогрессию для решения прикладных задач?

Совет: Всегда проверяйте значения ключевых параметров ($a_1$, $d$, $n$) перед подстановкой в формулы.