Задание

Итак, у нас есть 10 различных натуральных чисел, и даны следующие условия:

1. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5.
2. Среднее арифметическое шести наибольших из них равно 15.

Нам нужно ответить на три вопроса.

---

а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 37?

Рассмотрим это условие:

1. Пусть числа, которые записаны на доске, обозначены как $a_1, a_2, \dots, a_{10}$, где $a_1$ — наименьшее число, а $a_{10}$ — наибольшее.
2. Из условия "среднее арифметическое шести наименьших чисел равно 5" можно записать:

$\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6}{6} = 5$

Умножив обе части на 6, получаем:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 30$

3. Из условия "среднее арифметическое шести наибольших чисел равно 15" можно записать:

$\frac{a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}}{6} = 15$

Умножив обе части на 6, получаем:

$a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = 90$

4. Теперь давайте сложим оба уравнения:

$(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6) + (a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}) = 30 + 90 = 120$

Примечание: числа $a_5$ и $a_6$ встречаются дважды, поэтому их нужно вычесть:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + 2a_5 + 2a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = 120$

5. Посмотрим, можем ли мы установить, что наименьшее число $a_1 = 37$. Для этого нужно, чтобы сумма оставшихся чисел была равна:

$a_2 + a_3 + a_4 + 2a_5 + 2a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = 120 - 37 = 83$

Таким образом, все оставшиеся числа должны суммироваться до 83. Поскольку все числа различны, вряд ли получится выполнить это условие при $a_1 = 37$, не нарушая остальных ограничений (например, разница между числами).

Ответ: Наименьшее число не может быть равно 37.

---

6) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11?

Среднее арифметическое всех чисел равно:

$\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}}{10}$

Нам нужно, чтобы это среднее было равно 11, т.е.

$\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}}{10} = 11$

Тогда сумма всех чисел должна быть:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = 11 \times 10 = 110$

Из предыдущего расчета мы знаем, что:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = 120$

Таким образом, среднее арифметическое не может быть равно 11, поскольку сумма всех чисел больше, чем 110.

Ответ: Среднее арифметическое всех чисел не может быть равно 11.

---

в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Для нахождения наибольшего возможного значения среднего арифметического всех десяти чисел, давайте рассмотрим, что нам нужно сделать:

• Сумма всех чисел $a_1 + a_2 + \dots + a_{10} = 120$, как мы уже нашли.
• Чтобы среднее арифметическое было максимальным, нужно максимизировать сумму чисел $a_1, a_2, \dots, a_{10}$. Это можно сделать, минимизируя значения $a_1$, $a_2$, и т. д.

Таким образом, наибольшее значение среднего арифметического будет при минимизации наименьших чисел.

Ответ: Наибольшее возможное значение среднего арифметического всех чисел равно $12$.

---

Вопросы для дальнейшего изучения:

1. Какое наименьшее число из десяти может быть при таком распределении чисел?
2. Как повлияет увеличение наибольшего числа на среднее арифметическое всех чисел?
3. Как можно изменить набор чисел для получения меньшего среднего арифметического?
4. Могут ли такие числа быть не натуральными, а, например, целыми или рациональными?
5. Что изменится, если добавим еще одно условие, например, все числа делятся на 3?

Совет:

Для таких задач полезно работать с неравенствами и проверять ограничения с обеих сторон, чтобы не упустить важные моменты.