Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = 2 - x^2$ dan $y = x$, kita perlu menentukan terlebih dahulu titik-titik potong antara kedua kurva tersebut. Setelah mendapatkan titik potong, kita dapat menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.

1. Menentukan Titik Potong

Titik potong antara kurva $y = 2 - x^2$ dan $y = x$ dapat diperoleh dengan menyamakan kedua persamaan:

$2 - x^2 = x$

Menyusun ulang persamaan ini, kita dapatkan:

$x^2 + x - 2 = 0$

Persamaan ini adalah persamaan kuadrat yang dapat kita faktorkan menjadi:

$(x + 2)(x - 1) = 0$

Sehingga, $x = -2$ dan $x = 1$.

Substitusi $x = -2$ dan $x = 1$ ke salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai $y$:

• Jika $x = -2$, maka $y = -2$.
• Jika $x = 1$, maka $y = 1$.

Jadi, titik-titik potongnya adalah $(-2, -2)$ dan $(1, 1)$.

2. Menghitung Luas Daerah

Luas daerah antara kurva $y = 2 - x^2$ dan $y = x$ pada interval $x = -2$ hingga $x = 1$ dapat dihitung dengan integral:

$\text{Luas} = \int_{-2}^{1} \left( (2 - x^2) - x \right) \, dx$

Menyederhanakan ekspresi di dalam integral:

$= \int_{-2}^{1} (2 - x^2 - x) \, dx$

Sekarang, kita integralkan setiap suku:

1. $\int 2 \, dx = 2x$
2. $\int -x^2 \, dx = -\frac{x^3}{3}$
3. $\int -x \, dx = -\frac{x^2}{2}$

Sehingga integralnya menjadi:

$= \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{1}$

3. Substitusi Batas Integral

Kita substitusi batas-batas $x = -2$ dan $x = 1$ ke dalam hasil integral:

$= \left( 2(1) - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} \right) - \left( 2(-2) - \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} \right)$

Sekarang, kita hitung setiap bagiannya:

• Untuk $x = 1$: $2(1) - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{12 - 2 - 3}{6} = \frac{7}{6}$

• Untuk $x = -2$: $2(-2) - \frac{-8}{3} - \frac{4}{2} = -4 + \frac{8}{3} - 2 = \frac{-12 + 8 - 6}{3} = -\frac{10}{3}$

Maka, luasnya adalah:

$\text{Luas} = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

Hasil Akhir

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = 2 - x^2$ dan $y = x$ adalah:

$\boxed{\frac{9}{2}}$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menemukan titik potong antara dua kurva selain metode substitusi?
2. Apa peran integral dalam menentukan luas daerah di bawah atau di antara kurva?
3. Bagaimana cara menginterpretasikan hasil integral negatif dalam konteks luas?
4. Mengapa kita perlu mengurangkan fungsi satu terhadap yang lain dalam integral ini?
5. Apa yang terjadi jika batas-batas integral diubah atau diperluas?

Tip: Saat menghitung integral, pastikan setiap langkah aljabar dilakukan dengan benar untuk menghindari kesalahan dalam hasil akhir.