Para resolver este problema y determinar el área de la región acotada por las curvas dadas, vamos a realizar los siguientes pasos:

1. Identificación de las curvas y límites:

Las dos curvas que acotan la región en el plano cartesiano son:

• $y = x - 1$
• $x = y^2 - 1$

La región está acotada entre estas dos curvas.

2. Intersección de las curvas:

Para hallar los límites de integración, necesitamos encontrar los puntos donde las curvas se intersectan. Igualamos ambas ecuaciones:

$x - 1 = y^2 - 1$

Simplificamos:

$x = y^2$

Este es el punto de intersección de las dos curvas, así que los valores de $y$ determinan los límites de integración.

Resolviendo para $y$, igualamos las dos expresiones de $x$:

$x = y^2 \quad \text{y} \quad x = y + 1$

Igualamos ambas:

$y + 1 = y^2$

Reordenamos la ecuación:

$y^2 - y - 1 = 0$

Esta es una ecuación cuadrática. La solución es:

$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

El valor positivo es el que necesitamos para los límites de la región acotada.

3. Límites de integración:

Los límites de integración son los valores de $y$ correspondientes a las intersecciones de las curvas:

• $c = y_{\text{inferior}} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$
• $d = y_{\text{superior}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

4. Planteamiento de la integral:

La integral que define el área de la región es:

$A = \int_{c}^{d} \left( f(y) - g(y) \right) dy$

Donde:

• $f(y) = y + 1$ (la función de la línea recta),
• $g(y) = y^2 - 1$ (la parábola).

Por lo tanto, la integral queda como:

$A = \int_{c}^{d} \left( (y + 1) - (y^2 - 1) \right) dy$

Simplificamos la expresión:

$A = \int_{c}^{d} \left( -y^2 + y + 2 \right) dy$

5. Área de la región:

Finalmente, podemos resolver la integral para hallar el área.

$A = \int_{c}^{d} \left( -y^2 + y + 2 \right) dy$

Calculando esta integral, obtendremos el área de la región.

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¿Te gustaría proceder con la integración para obtener el valor numérico del área o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí tienes algunas preguntas para explorar más:

1. ¿Cuál es la intersección exacta de las dos curvas?
2. ¿Cómo se deriva el área de una región acotada mediante integrales?
3. ¿Cómo afectan los límites de integración al cálculo del área?
4. ¿Cuál es el procedimiento para resolver integrales definidas?
5. ¿Cómo se podrían visualizar estas dos curvas en un gráfico?

Tip: En problemas de áreas acotadas por curvas, siempre es útil encontrar los puntos de intersección para definir los límites correctos de integración.