Для решения этой задачи нужно:

1. Построить графики двух функций:

   • $y = x^2 + 4x - 5$ (парабола).
   • $y = 3x + 1$ (прямая линия).

2. Найти точки пересечения этих графиков (решение системы уравнений).

3. Определить границы области, заключенной между графиками.

4. Вычислить площадь области между графиками, используя интеграл.

---

1. Найдем точки пересечения $y = x^2 + 4x - 5$ и $y = 3x + 1$

Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 + 4x - 5 = 3x + 1$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 + 4x - 5 - 3x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$

$x_1 = 2, \quad x_2 = -3$

Соответствующие значения $y$:

• Для $x_1 = 2$: $y = 3(2) + 1 = 7$.
• Для $x_2 = -3$: $y = 3(-3) + 1 = -8$.

Точки пересечения: $(2, 7)$ и $(-3, -8)$.

---

2. Вычислим площадь области между графиками

Площадь вычисляется как интеграл разности функций $y_{\text{верх}} - y_{\text{низ}}$ на интервале от $x = -3$ до $x = 2$. Здесь:

• Верхняя функция: $y = 3x + 1$ (прямая).
• Нижняя функция: $y = x^2 + 4x - 5$ (парабола).

Формула площади:

$S = \int_{-3}^{2} \left( (3x + 1) - (x^2 + 4x - 5) \right) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$(3x + 1) - (x^2 + 4x - 5) = -x^2 - x + 6$

Тогда:

$S = \int_{-3}^{2} (-x^2 - x + 6) \, dx$

Рассчитаем интеграл по частям:

$\int (-x^2 - x + 6) \, dx = \int -x^2 \, dx + \int -x \, dx + \int 6 \, dx = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x + C$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{-3}^{2}$

Подставим $x = 2$ и $x = -3$:

1. Для $x = 2$:

$-\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + 6(2) = -\frac{8}{3} - 2 + 12 = \frac{26}{3}$

2. Для $x = -3$:

$-\frac{(-3)^3}{3} - \frac{(-3)^2}{2} + 6(-3) = -\frac{-27}{3} - \frac{9}{2} - 18 = 9 - \frac{9}{2} - 18 = -\frac{27}{2}$

Разность:

$S = \frac{26}{3} - \left(-\frac{27}{2}\right) = \frac{26}{3} + \frac{27}{2} = \frac{52}{6} + \frac{81}{6} = \frac{133}{6}$

---

Ответ:

Площадь области равна:

$S = \frac{133}{6} \approx 22.17$

Если хотите, могу построить график или объяснить подробнее.

---

Вопросы:

1. Хотите увидеть график областей?
2. Интересно ли, как строится график функций вручную?
3. Нужны ли шаги по разбиению области на части?
4. Интересует ли методика проверки результатов?
5. Хотите объяснение, как интерпретировать интеграл в плане геометрии?

---

Совет:

При работе с интегралами всегда упрощайте подынтегральное выражение перед вычислением — это снижает вероятность ошибок.