Сіздің сұрағыңыз бойынша, екі функцияның графиктерімен шектелген аймақтың ауданын табуды сұрайсыз. Бізде екі функция:

$y = 3x$ және $y = 4 - x$

Бұл екі функцияның графиктері қиылысады, сондықтан алдымен олардың қиылысу нүктелерін табу қажет.

1. Қиылысу нүктесін табу

Функциялар тең болатындай $y$-ды қойып, теңдеуді шешеміз:

$3x = 4 - x$

Енді бұл теңдеуді шешейік:

$3x + x = 4$ $4x = 4$ $x = 1$

Осылайша, $x = 1$ қиылысу орны. Енді $y$-тың мәнін табамыз:

$y = 3(1) = 3$

Бұл жағдайда қиылысу нүктесі $(1, 3)$.

2. Ауданды есептеу

Ауданды есептеу үшін, біз екі қисықтың арасында жатқан аймақтың ауданының формуласына жүгінеміз. Аудан мына формуламен есептеледі:

$A = \int_{a}^{b} \left( f(x) - g(x) \right) \, dx$

Мұндағы $f(x)$ және $g(x)$ — екі функция (осы жағдайда $f(x) = 4 - x$ және $g(x) = 3x$), ал $a$ және $b$ — олардың қиылысу нүктелерінің $x$-мәндері (бұл жағдайда $a = 0$ және $b = 1$).

Енді аудан формуласына сәйкес есептейік:

$A = \int_{0}^{1} \left( (4 - x) - (3x) \right) dx$ $A = \int_{0}^{1} (4 - 4x) dx$

Енді интегралды есептейік:

$A = \left[ 4x - 2x^2 \right]_{0}^{1}$ $A = (4(1) - 2(1)^2) - (4(0) - 2(0)^2)$ $A = (4 - 2) - 0$ $A = 2$

Осылайша, екі функцияның графиктерімен шектелген аймақтың ауданы 2 бірлік квадрат болады.

---

Сұрақтарыңыз бар ма?

Түсінуге көмектесетін қосымша сұрақтар:

1. Функциялардың графиктерін қалай салуға болады?
2. Интегралды есептеуде басқа әдістерді қолдануға бола ма?
3. Ауданның физикалық маңызы қандай?
4. Қиылысу нүктелерін табуда басқа әдістерді қолдануға бола ма?
5. Екі функцияның графигін салыстыру арқылы қандай жаңа мәліметтер ала аламыз?

Тұжырым: Функция графиктерімен шектелген аймақтың ауданын есептеу үшін интегралды қолдану маңызды әдіс болып табылады.