Resolución:

1. Identificar las curvas dadas:

   • $y = 1$: Es una línea horizontal en $y = 1$.
   • $y - x = 0$: Esto equivale a $y = x$, una línea recta que pasa por el origen con pendiente 1.
   • $xy^2 = 4$: Esta es una hipérbola con simetría respecto al eje $x$.

2. Encontrar los puntos de intersección: Resolveremos los puntos de intersección de las tres curvas.

   a) Intersección entre $y = 1$ y $xy^2 = 4$: $x(1)^2 = 4 \implies x = 4.$ Por lo tanto, el punto de intersección es $(4, 1)$.

   b) Intersección entre $y = x$ y $xy^2 = 4$: Sustituyendo $y = x$ en $xy^2 = 4$: $x(x^2) = 4 \implies x^3 = 4 \implies x = \sqrt[3]{4}.$ Por lo tanto, el punto de intersección es $(\sqrt[3]{4}, \sqrt[3]{4})$.

   c) Intersección entre $y = 1$ y $y = x$: $x = 1.$ Por lo tanto, el punto de intersección es $(1, 1)$.

3. Área entre las curvas: El área entre las curvas está delimitada por:

   • De $x = 1$ a $x = \sqrt[3]{4}$: Entre $y = x$ y $xy^2 = 4$.
   • De $x = \sqrt[3]{4}$ a $x = 4$: Entre $y = 1$ y $xy^2 = 4$.

   El área se calcula sumando dos integrales:

   [ A = \int_1^{\sqrt[3]{4}} (x - y),dx + \int_{\sqrt[3]{4}}^{4} (1 - y),dx. ]

   Donde:

   • En la primera integral, $y = \frac{4}{x^2}$ (de $xy^2 = 4$).
   • En la segunda integral, $y = \frac{4}{x^2}$.

   a) Primera integral: [ \int_1^{\sqrt[3]{4}} \left(x - \frac{4}{x^2}\right) dx = \int_1^{\sqrt[3]{4}} x,dx - \int_1^{\sqrt[3]{4}} \frac{4}{x^2}dx. ] Resolver cada término:

   • $\int x\,dx = \frac{x^2}{2}$,
   • $\int \frac{4}{x^2} dx = -\frac{4}{x}$.

   Sustituimos los límites: [ \int_1^{\sqrt[3]{4}} \left(x - \frac{4}{x^2}\right) dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_1^{\sqrt[3]{4}} - \left[-\frac{4}{x}\right]_1^{\sqrt[3]{4}}. ]

   b) Segunda integral: [ \int_{\sqrt[3]{4}}^{4} \left(1 - \frac{4}{x^2}\right) dx = \int_{\sqrt[3]{4}}^{4} 1,dx - \int_{\sqrt[3]{4}}^{4} \frac{4}{x^2} dx. ] Resolver cada término:

   • $\int 1\,dx = x$,
   • $\int \frac{4}{x^2} dx = -\frac{4}{x}$.

   Sustituimos los límites: [ \int_{\sqrt[3]{4}}^{4} \left(1 - \frac{4}{x^2}\right) dx = \left[x\right]{\sqrt[3]{4}}^{4} - \left[-\frac{4}{x}\right]{\sqrt[3]{4}}^{4}. ]

4. Suma de las integrales: Ahora sumamos ambas integrales para obtener el área total. Puedo proceder con el cálculo numérico si lo necesitas.

¿Te gustaría que continúe con los cálculos numéricos? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina la intersección entre dos curvas algebraicamente?
2. ¿Por qué la curva $xy^2 = 4$ es una hipérbola?
3. ¿Qué herramientas gráficas pueden ayudarte a visualizar estas curvas?
4. ¿Cómo se simplifica una integral definida con límites dados?
5. ¿Qué sucede si se cambia el dominio de integración?

Tip: Al trabajar con integrales, descomponer el área en secciones manejables simplifica mucho los cálculos.