gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = x+2

Mari kita gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva \( y = x^2 \) dan \( y = x + 2 \).

### 1. **Menemukan Titik Potong Kurva**
Untuk menemukan batas daerah, kita perlu mencari titik potong antara kedua kurva tersebut, yaitu ketika \( y = x^2 \) dan \( y = x + 2 \).

\[
x^2 = x + 2
\]

Menyusun persamaan ini:

\[
x^2 - x - 2 = 0
\]

Menyelesaikan persamaan kuadrat:

\[
(x - 2)(x + 1) = 0
\]

Jadi, \( x = 2 \) dan \( x = -1 \).

### 2. **Menghitung Luas Daerah**
Luas daerah antara dua kurva dapat dihitung dengan menggunakan integral:

\[
Luas = \int_{x_1}^{x_2} (f(x) - g(x)) \, dx
\]

Di sini, \( f(x) = x + 2 \) adalah fungsi yang berada di atas, dan \( g(x) = x^2 \) adalah fungsi di bawah, antara batas \( x = -1 \) dan \( x = 2 \).

Sehingga:

\[
Luas = \int_{-1}^{2} ((x + 2) - x^2) \, dx
\]

### 3. **Melakukan Integral**
Sekarang kita selesaikan integral ini:

\[
Luas = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) \, dx
\]
\[
= \int_{-1}^{2} x \, dx + \int_{-1}^{2} 2 \, dx - \int_{-1}^{2} x^2 \, dx
\]

Hitung setiap integral satu per satu:

1. \( \int_{-1}^{2} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = 2 - 0.5 = 1.5 \)
2. \( \int_{-1}^{2} 2 \, dx = 2 \times (2 - (-1)) = 2 \times 3 = 6 \)
3. \( \int_{-1}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \)

Sehingga:

\[
Luas = 1.5 + 6 - 3 = 4.5
\]

### 4. **Kesimpulan**
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva \( y = x^2 \) dan \( y = x + 2 \) adalah **4,5 satuan luas**.

Apakah Anda ingin melihat grafik dari kurva tersebut atau ada bagian yang ingin diperjelas?

---

#### Pertanyaan Terkait:
1. Apa yang dimaksud dengan integral dalam konteks luas daerah?
2. Bagaimana cara menentukan kurva mana yang berada di atas atau di bawah?
3. Apakah metode lain tersedia untuk menghitung luas daerah tertutup?
4. Bagaimana integral ini berubah jika batas integralnya berbeda?
5. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan metode faktorisasi?

**Tip:** Saat menghitung luas daerah antara dua kurva, pastikan untuk selalu mengidentifikasi fungsi yang berada di atas dan di bawah dengan benar untuk mendapatkan hasil yang akurat.

Explore how to calculate the area between the curves y = x² and y = x + 2 using integration. This detailed solution includes finding the points of intersection and performing the integral step-by-step, covering key concepts in integral calculus. Suitable for high school students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation