Math Problem Statement
- Laske sen alueen ala, jota rajoittavat x- ja y-akselit, suora y = 1 ja k¨ayr¨a y = ln(x) (a) integroimalla muuttujan x suhteen. (b) integroimalla muuttujan y suhteen
Solution
Oletetaan, että tehtävässä halutaan laskea alueen pinta-ala, jonka rajoittavat seuraavat käyrät ja suorat:
- (käyrä)
- (suora)
- -akseli (suora )
- -akseli (suora )
Tehtävässä pyydetään laskemaan tämän alueen pinta-ala sekä integroimalla muuttujan suhteen että muuttujan suhteen.
(a) Integroimalla muuttujan suhteen
Alue, joka rajoittuu käyrillä , , , ja , voidaan esittää integroimalla muuttujan suhteen.
1. Määritellään rajat:
Suora leikkaa käyrän kohdassa . Ratkaistaan tämä yhtälö:
Näin ollen integraali rajautuu välillä (kun ) ja (kun ).
2. Lasketaan pinta-ala:
Pinta-alan laskemiseksi lasketaan alueen yläpuolella olevan käyrän ja suoran välinen etäisyys ja integroidaan tämä etäisyys muuttujan suhteen:
Tässä on yläraja ja on käyrä, joka rajoittaa aluetta.
Lasketaan integraali:
Ensimmäinen integraali on yksinkertainen:
Toisen integraalin osalta käytämme integraalia :
Lasketaan arvot:
[ \left[ e \ln(e) - e \right] - \left[ 1 \ln(1) - 1 \right] = (e - e) - (0 - 1) = 1 ]
Joten:
Pinta-ala on siis .
(b) Integroimalla muuttujan suhteen
Tässä tapauksessa integraali täytyy kirjoittaa muuttujan suhteen. Voimme ratkaista käyrästä , jolloin .
1. Määritellään rajat:
Käyrä leikkaa suoran kohdassa , ja se leikkaa -akselin kohdassa , kun .
Joten integraali rajautuu välillä ja .
2. Lasketaan pinta-ala:
Pinta-alan laskemiseksi otamme integraalin, jossa :
Lasketaan integraali:
Yhteenveto:
- (a) Integroimalla muuttujan suhteen, alueen pinta-ala on .
- (b) Integroimalla muuttujan suhteen, alueen pinta-ala on .
Halutessasi voin selittää tarkemmin integrointitekniikoista tai muista ratkaisuista.
Liittyvät kysymykset:
- Mikä on ?
- Kuinka käyttää osittaista integrointia laskemisessa?
- Miten tarkistetaan, että integraalin raja-arvot ovat oikein valitut?
- Mikä on suhde pinta-alan ja integraalin välillä geometrisesti?
- Miten lasketaan pinta-ala, joka on rajattu useammalla käyrällä?
Vinkki: Kun lasket pinta-aloja alueilta, joissa on useita rajoja, on tärkeää valita oikeat rajat ja selvittää, mikä funktio on ylä- ja mikä alapuolella.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Calculus
Definite Integrals
Logarithmic Functions
Area between curves
Formulas
Integral of ln(x): ∫ln(x) dx = xln(x) - x
Area between curves: A = ∫[f(x) - g(x)] dx
Theorems
Fundamental Theorem of Calculus
Suitable Grade Level
College/University