Math Problem Statement

  1. Laske sen alueen ala, jota rajoittavat x- ja y-akselit, suora y = 1 ja k¨ayr¨a y = ln(x) (a) integroimalla muuttujan x suhteen. (b) integroimalla muuttujan y suhteen

Solution

Oletetaan, että tehtävässä halutaan laskea alueen pinta-ala, jonka rajoittavat seuraavat käyrät ja suorat:

  1. y=ln(x)y = \ln(x) (käyrä)
  2. y=1y = 1 (suora)
  3. xx-akseli (suora y=0y = 0)
  4. yy-akseli (suora x=0x = 0)

Tehtävässä pyydetään laskemaan tämän alueen pinta-ala sekä integroimalla muuttujan xx suhteen että muuttujan yy suhteen.

(a) Integroimalla muuttujan xx suhteen

Alue, joka rajoittuu käyrillä y=ln(x)y = \ln(x), y=1y = 1, x=0x = 0, ja y=0y = 0, voidaan esittää integroimalla muuttujan xx suhteen.

1. Määritellään rajat:

Suora y=1y = 1 leikkaa käyrän y=ln(x)y = \ln(x) kohdassa y=1y = 1. Ratkaistaan tämä yhtälö:

1=ln(x)x=e1 = \ln(x) \quad \Rightarrow \quad x = e

Näin ollen integraali rajautuu välillä x=1x = 1 (kun y=0y = 0) ja x=ex = e (kun y=1y = 1).

2. Lasketaan pinta-ala:

Pinta-alan laskemiseksi lasketaan alueen yläpuolella olevan käyrän ja suoran välinen etäisyys ja integroidaan tämä etäisyys muuttujan xx suhteen:

A=1e(1ln(x))dxA = \int_{1}^{e} \left( 1 - \ln(x) \right) \, dx

Tässä 11 on yläraja ja ln(x)\ln(x) on käyrä, joka rajoittaa aluetta.

Lasketaan integraali:

A=1e1dx1eln(x)dxA = \int_{1}^{e} 1 \, dx - \int_{1}^{e} \ln(x) \, dx

Ensimmäinen integraali on yksinkertainen:

1e1dx=e1\int_{1}^{e} 1 \, dx = e - 1

Toisen integraalin osalta käytämme integraalia ln(x)dx=xln(x)x\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x:

1eln(x)dx=[xln(x)x]1e\int_{1}^{e} \ln(x) \, dx = \left[ x \ln(x) - x \right]_{1}^{e}

Lasketaan arvot:

[ \left[ e \ln(e) - e \right] - \left[ 1 \ln(1) - 1 \right] = (e - e) - (0 - 1) = 1 ]

Joten:

A=(e1)1=e2A = (e - 1) - 1 = e - 2

Pinta-ala on siis A=e2A = e - 2.

(b) Integroimalla muuttujan yy suhteen

Tässä tapauksessa integraali täytyy kirjoittaa muuttujan yy suhteen. Voimme ratkaista xx käyrästä y=ln(x)y = \ln(x), jolloin x=eyx = e^y.

1. Määritellään rajat:

Käyrä y=ln(x)y = \ln(x) leikkaa suoran y=1y = 1 kohdassa x=ex = e, ja se leikkaa yy-akselin kohdassa y=0y = 0, kun x=1x = 1.

Joten integraali rajautuu välillä y=0y = 0 ja y=1y = 1.

2. Lasketaan pinta-ala:

Pinta-alan laskemiseksi otamme integraalin, jossa x=eyx = e^y:

A=01eydyA = \int_{0}^{1} e^y \, dy

Lasketaan integraali:

A=[ey]01=e1e0=e1A = \left[ e^y \right]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1

Yhteenveto:

  • (a) Integroimalla muuttujan xx suhteen, alueen pinta-ala on e2e - 2.
  • (b) Integroimalla muuttujan yy suhteen, alueen pinta-ala on e1e - 1.

Halutessasi voin selittää tarkemmin integrointitekniikoista tai muista ratkaisuista.

Liittyvät kysymykset:

  1. Mikä on ln(x)dx\int \ln(x) \, dx?
  2. Kuinka käyttää osittaista integrointia laskemisessa?
  3. Miten tarkistetaan, että integraalin raja-arvot ovat oikein valitut?
  4. Mikä on suhde pinta-alan ja integraalin välillä geometrisesti?
  5. Miten lasketaan pinta-ala, joka on rajattu useammalla käyrällä?

Vinkki: Kun lasket pinta-aloja alueilta, joissa on useita rajoja, on tärkeää valita oikeat rajat ja selvittää, mikä funktio on ylä- ja mikä alapuolella.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Calculus
Definite Integrals
Logarithmic Functions
Area between curves

Formulas

Integral of ln(x): ∫ln(x) dx = xln(x) - x
Area between curves: A = ∫[f(x) - g(x)] dx

Theorems

Fundamental Theorem of Calculus

Suitable Grade Level

College/University