Aufgabe lösen:

Die gegebene Funktion lautet:
$F(x, y) = 4 \cdot x \cdot y + x^2$

Teilaufgabe a)

Berechnung der approximativen Funktionsänderung:
Wenn $x$ und $y$ um 10 % erhöht werden, bedeutet das:
$\Delta x = 0.1 \cdot x = 0.1 \cdot 4 = 0.4, \quad \Delta y = 0.1 \cdot y = 0.1 \cdot 4 = 0.4$
Die partielle Ableitungen werden verwendet, um die approximative Änderung zu berechnen:
$\frac{\partial F}{\partial x} \big|_{(4,4)} = 24, \quad \frac{\partial F}{\partial y} \big|_{(4,4)} = 16$
Die approximative Funktionsänderung ist dann:
$\Delta F \approx \frac{\partial F}{\partial x} \big|_{(4,4)} \cdot \Delta x + \frac{\partial F}{\partial y} \big|_{(4,4)} \cdot \Delta y$
Einsetzen der Werte:
$\Delta F \approx 24 \cdot 0.4 + 16 \cdot 0.4 = 9.6 + 6.4 = 16.0$

Einzutragender Wert in das Feld:
16.0

Teilaufgabe b)

Berechnung des relativen prozentualen Fehlers:
Die tatsächliche Änderung der Funktion ist gegeben mit:
$\Delta F(x, y) = 84$
Der relative Fehler wird berechnet als:
$\text{Relativer Fehler} = \frac{\text{Tatsächlicher Wert} - \text{Approximierter Wert}}{\text{Tatsächlicher Wert}}$
Einsetzen der Werte:
$\text{Relativer Fehler} = \frac{84 - 16}{84} = \frac{68}{84} \approx 0.8095$

Einzutragender Wert in das Feld:
0.8095

Zusammenfassung der Ergebnisse:

• Teilaufgabe a): 16.0
• Teilaufgabe b): 0.8095

Haben Sie weitere Fragen oder möchten Sie die Details zu den Ableitungen?

Zusätzliche Fragen:

1. Wie werden partielle Ableitungen für diese Funktion berechnet?
2. Warum werden für die Berechnung der Änderung nur die ersten Ableitungen verwendet?
3. Wie wird die relative Änderung durch Differenzenquotienten berechnet?
4. Was bedeutet die Näherung bei kleinen Änderungen in $x$ und $y$?
5. Wie könnten die Fehler bei der Approximation reduziert werden?

Tipp:

Vergleiche immer die tatsächliche Änderung mit der approximativen, um sicherzustellen, dass die Näherung gültig ist.