Rozwiązanie:

Mamy trójkąt ostrokątny $ABC$, w którym kąt $\angle BAC = 50^\circ$. Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$. Ponadto, przez punkty $B$, $C$ oraz środek okręgu $O$ przechodzi okrąg o środku w punkcie $S$.

Czworokąt $BOCS$ leży na tym okręgu, co oznacza, że jest wpisany w okrąg. Oznacza to, że jego kąty przeciwległe sumują się do $180^\circ$.

1. Analiza:

1. Kąt $\angle BAC = 50^\circ$, zatem kąt środkowy wyznaczający łuk $BC$ na okręgu opisanym wynosi $100^\circ$ (podwojenie kąta wpisanego w trójkącie).
2. Środek okręgu opisanego $O$ leży wewnątrz trójkąta $ABC$, więc czworokąt $BOCS$ jest szczególnym przypadkiem.

2. Obliczenia kątów:

1. Kąt $\angle BOC$: Kąt środkowy oparty na łuku $BC$ w okręgu opisanym trójkąta $ABC$ wynosi $2 \times \angle BAC = 100^\circ$.

2. Kąt $\angle BSC$: Punkt $S$ jest środkiem okręgu przechodzącego przez $B$, $C$ i $O$. Ponieważ $S$ jest środkiem, kąt wpisany $\angle BSC$ oparty na łuku $BO$ (lub $OC$) będzie równy $180^\circ - \angle BOC = 80^\circ$.

3. Kąt $\angle BOS$: Kąt środkowy wyznaczający łuk $BO$ w okręgu o środku $S$ wynosi $\frac{1}{2} \times \angle BOC = 40^\circ$.

4. Kąt $\angle SOC$: Kąt środkowy wyznaczający łuk $OC$ w okręgu o środku $S$ wynosi $\frac{1}{2} \times \angle BOC = 40^\circ$.

3. Miary kątów w czworokącie $BOCS$:

• $\angle BOC = 100^\circ$,
• $\angle BSC = 80^\circ$,
• $\angle BOS = 40^\circ$,
• $\angle SOC = 40^\circ$.

Ponieważ $\angle BSC + \angle BOC = 180^\circ$, czworokąt $BOCS$ spełnia warunek wpisania w okrąg.

---

Czy potrzebujesz dodatkowych wyjaśnień?

Dodatkowe pytania:

1. Jak wyznaczyć długości boków w trójkącie $ABC$?
2. Jak wyznaczyć promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$?
3. W jaki sposób czworokąt wpisany w okrąg spełnia warunek sumy kątów przeciwległych?
4. Czy $S$ może leżeć na jednej z osi symetrii trójkąta $ABC$?
5. Jak zmienia się miara kąta $\angle BOC$, gdy kąt $\angle BAC$ zmienia wartość?

Wskazówka:

W czworokącie wpisanym w okrąg zawsze suma kątów przeciwległych wynosi $180^\circ$. To kluczowa własność, która pomaga w obliczeniach.