Math Problem Statement

Kolmisivuisen pyramidin kärkipisteet ovat A (−3,1,−2) , B (3,−2,−1) , C (2,−1,−3) ja D (−3,−1,2) . Laske särmävektoreiden DB→ ja DC→ välinen kulma. Anna vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

Solution

Kulman laskemiseksi särmävektoreiden DB\vec{DB} ja DC\vec{DC} välillä voimme käyttää vektoreiden pistetuloa ja sen yhteyttä vektoreiden väliseen kulmaan.

Vaiheet:

  1. Määritä vektorit DB\vec{DB} ja DC\vec{DC}:

    • Vektori DB\vec{DB} saadaan vähentämällä pisteen DD koordinaatit pisteen BB koordinaateista: DB=BD=(3,2,1)(3,1,2)=(3+3,2+1,12)=(6,1,3)\vec{DB} = B - D = (3, -2, -1) - (-3, -1, 2) = (3 + 3, -2 + 1, -1 - 2) = (6, -1, -3)
    • Vektori DC\vec{DC} saadaan vähentämällä pisteen DD koordinaatit pisteen CC koordinaateista: DC=CD=(2,1,3)(3,1,2)=(2+3,1+1,32)=(5,0,5)\vec{DC} = C - D = (2, -1, -3) - (-3, -1, 2) = (2 + 3, -1 + 1, -3 - 2) = (5, 0, -5)
  2. Laske vektoreiden pistetulo: Vektoreiden DB=(6,1,3)\vec{DB} = (6, -1, -3) ja DC=(5,0,5)\vec{DC} = (5, 0, -5) pistetulo lasketaan seuraavasti: DBDC=(6)(5)+(1)(0)+(3)(5)=30+0+15=45\vec{DB} \cdot \vec{DC} = (6)(5) + (-1)(0) + (-3)(-5) = 30 + 0 + 15 = 45

  3. Laske vektoreiden pituudet: Vektorin DB\vec{DB} pituus: DB=62+(1)2+(3)2=36+1+9=46|\vec{DB}| = \sqrt{6^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 1 + 9} = \sqrt{46} Vektorin DC\vec{DC} pituus: DC=52+02+(5)2=25+0+25=50|\vec{DC}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 0 + 25} = \sqrt{50}

  4. Käytä vektoreiden välistä kulmaa koskevaa kaavaa: cosθ=DBDCDBDC\cos \theta = \frac{\vec{DB} \cdot \vec{DC}}{|\vec{DB}| |\vec{DC}|} Korvataan tunnetuilla arvoilla: cosθ=454650=452300\cos \theta = \frac{45}{\sqrt{46} \cdot \sqrt{50}} = \frac{45}{\sqrt{2300}}

  5. Lasketaan kulma: θ=cos1(452300)\theta = \cos^{-1} \left( \frac{45}{\sqrt{2300}} \right) Lasketaan tämä numeerisesti.

Lasketaan arvo.Särmävektoreiden DB\vec{DB} ja DC\vec{DC} välinen kulma on noin 20,23 astetta kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

Haluatko lisätietoja laskuista tai lisää kysymyksiä?

Tässä viisi jatkokysymystä:

  1. Kuinka määrittää vektoreiden suuruus tietyissä tilanteissa?
  2. Miten pistetulon arvo vaikuttaa vektoreiden väliseen kulmaan?
  3. Voiko kahden vektorin välinen kulma olla negatiivinen?
  4. Mitä tapahtuu, jos vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan?
  5. Kuinka kulman laskeminen muuttuu eri koordinaatistoissa?

Vinkki: Kun vektoreiden välinen pistetulo on nolla, vektorit ovat ortogonaalisia eli kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Vector Algebra
Dot Product
Vector Magnitude
Angle between Vectors

Formulas

Dot product: a · b = |a||b| cos(θ)
Vector magnitude: |v| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
Cosine of the angle between vectors: cos(θ) = (a · b) / (|a||b|)

Theorems

Dot Product Theorem
Pythagorean Theorem

Suitable Grade Level

High School (Grades 10-12)