Vamos analisar a função dada pela expressão da derivada no ponto $x = 1$ e observar o comportamento da função (crescente ou decrescente) com base na análise da derivada.

1. Avaliação da Derivada em $x = 1$

Supondo que temos a derivada da função $f(x)$ dada por:

$f'(x) = 3x^2 - 3$

Avaliaremos $f'(x)$ no ponto $x = 1$:

$f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0$

Portanto, a derivada da função no ponto $x = 1$ é igual a zero.

2. Análise de Crescimento e Decrescimento

Para determinar se a função é crescente ou decrescente em torno de $x = 1$, analisamos o sinal da derivada $f'(x)$:

• Se $f'(x) > 0$ para valores de $x$ próximos a $x = 1$, então a função é crescente.
• Se $f'(x) < 0$ para valores de $x$ próximos a $x = 1$, então a função é decrescente.
• Se $f'(x) = 0$ em um ponto, pode indicar um ponto crítico (máximo, mínimo, ou ponto de inflexão).

Análise de Sinais de $f'(x) = 3x^2 - 3$

Para verificar o comportamento, analisamos a expressão $3x^2 - 3$:

1. Reescrevendo: $f'(x) = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$.
2. Os zeros da derivada ocorrem em $x = 1$ e $x = -1$.

Agora, podemos analisar o sinal de $f'(x)$ em intervalos determinados pelos pontos $x = -1$ e $x = 1$:

• Para $x < -1$: Suponha $x = -2$, então $f'(-2) = 3((-2)^2 - 1) = 3(4 - 1) = 9 > 0$. A função é crescente neste intervalo.
• Para $-1 < x < 1$: Suponha $x = 0$, então $f'(0) = 3(0^2 - 1) = -3 < 0$. A função é decrescente neste intervalo.
• Para $x > 1$: Suponha $x = 2$, então $f'(2) = 3((2)^2 - 1) = 9 > 0$. A função é crescente neste intervalo.

Conclusão

A função é:

• Crescente para $x < -1$ e $x > 1$,
• Decrescente para $-1 < x < 1$.

No ponto $x = 1$, onde $f'(x) = 0$, ocorre um ponto crítico que, neste caso, indica uma mudança no comportamento da função de decrescente para crescente, sugerindo que $x = 1$ é um ponto mínimo local.

Deseja ver mais detalhes ou tem alguma dúvida?

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1. Como determinar pontos de máximo e mínimo locais usando derivadas?
2. O que significa a derivada ser zero em um ponto específico?
3. Como identificar pontos de inflexão em uma função?
4. Qual o papel do teste da segunda derivada em análises de crescimento?
5. Como visualizar graficamente o comportamento de uma função a partir de sua derivada?

Dica: Use a segunda derivada para confirmar a natureza de pontos críticos: se $f''(x) > 0$, temos um mínimo local, e se $f''(x) < 0$, temos um máximo local.