Evaluating the derivative at x=1*x*=1, we get dydx(1)=3(1)2−3=3−3=0*dxdy*​(1)=3(1)2−3=3−3=0. analise se a função é crescente ou descrescente

Vamos analisar a função dada pela expressão da derivada no ponto \( x = 1 \) e observar o comportamento da função (crescente ou decrescente) com base na análise da derivada.

### 1. Avaliação da Derivada em \( x = 1 \)

Supondo que temos a derivada da função \( f(x) \) dada por:

\[
f'(x) = 3x^2 - 3
\]

Avaliaremos \( f'(x) \) no ponto \( x = 1 \):

\[
f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0
\]

Portanto, a derivada da função no ponto \( x = 1 \) é igual a zero.

### 2. Análise de Crescimento e Decrescimento

Para determinar se a função é crescente ou decrescente em torno de \( x = 1 \), analisamos o sinal da derivada \( f'(x) \):

- **Se \( f'(x) > 0 \)** para valores de \( x \) próximos a \( x = 1 \), então a função é crescente.
- **Se \( f'(x) < 0 \)** para valores de \( x \) próximos a \( x = 1 \), então a função é decrescente.
- **Se \( f'(x) = 0 \)** em um ponto, pode indicar um ponto crítico (máximo, mínimo, ou ponto de inflexão).

### Análise de Sinais de \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)

Para verificar o comportamento, analisamos a expressão \( 3x^2 - 3 \):

1. **Reescrevendo**: \( f'(x) = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) \).
2. Os zeros da derivada ocorrem em \( x = 1 \) e \( x = -1 \).

Agora, podemos analisar o sinal de \( f'(x) \) em intervalos determinados pelos pontos \( x = -1 \) e \( x = 1 \):

- **Para \( x < -1 \)**: Suponha \( x = -2 \), então \( f'(-2) = 3((-2)^2 - 1) = 3(4 - 1) = 9 > 0 \). A função é crescente neste intervalo.
- **Para \( -1 < x < 1 \)**: Suponha \( x = 0 \), então \( f'(0) = 3(0^2 - 1) = -3 < 0 \). A função é decrescente neste intervalo.
- **Para \( x > 1 \)**: Suponha \( x = 2 \), então \( f'(2) = 3((2)^2 - 1) = 9 > 0 \). A função é crescente neste intervalo.

### Conclusão

A função é:
- Crescente para \( x < -1 \) e \( x > 1 \),
- Decrescente para \( -1 < x < 1 \).

No ponto \( x = 1 \), onde \( f'(x) = 0 \), ocorre um ponto crítico que, neste caso, indica uma mudança no comportamento da função de decrescente para crescente, sugerindo que \( x = 1 \) é um **ponto mínimo** local.

Deseja ver mais detalhes ou tem alguma dúvida?

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1. Como determinar pontos de máximo e mínimo locais usando derivadas?
2. O que significa a derivada ser zero em um ponto específico?
3. Como identificar pontos de inflexão em uma função?
4. Qual o papel do teste da segunda derivada em análises de crescimento?
5. Como visualizar graficamente o comportamento de uma função a partir de sua derivada?

**Dica:** Use a segunda derivada para confirmar a natureza de pontos críticos: se \( f''(x) > 0 \), temos um mínimo local, e se \( f''(x) < 0 \), temos um máximo local.

Evaluating the derivative at x=1, we get dy/dx(1)=3(1)^2−3=3−3=0. Analyze if the function is increasing or decreasing.

Evaluate whether a function is increasing or decreasing by analyzing its derivative at x=1. This problem involves calculus concepts, including derivatives and critical points, and explains how to apply the First Derivative Test to identify function behavior. Suitable for high school students in Grades 11-12.

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