Koji od kompleksnih brojeva z₁ = 1 + i,=, z2= 1 + 2í i z3 = 3i ima sljedeće svojstvo?
a) najveći je
b) ima najveći modul
c) ima najmanji argument
d) najudaljeniji je od ishodišta

Za ovaj zadatak, treba analizirati nekoliko svojstava kompleksnih brojeva \( z_1 = 1 + i \), \( z_2 = 1 + 2i \) i \( z_3 = 3i \).

### a) Najveći broj
Kompleksni brojevi se ne mogu direktno poređivati po veličini jer nemaju prirodni redosled kao realni brojevi. Stoga ova tačka nije primenljiva.

### b) Ima najveći modul
Modul kompleksnog broja \( z = a + bi \) je definisan kao \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \). Izračunajmo module svakog broja:
- \( |z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
- \( |z_2| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \)
- \( |z_3| = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3 \)

Dakle, \( z_3 \) ima najveći modul (3).

### c) Ima najmanji argument
Argument kompleksnog broja \( z = a + bi \) je ugao koji vektor \( z \) zatvara sa pozitivnom realnom osom. U ovom slučaju, izračunavamo argumente:
- Argument za \( z_1 = 1 + i \) je \( \theta_1 = \text{arctan}(1/1) = \frac{\pi}{4} \).
- Argument za \( z_2 = 1 + 2i \) je \( \theta_2 = \text{arctan}(2/1) \approx 1.107 \) radijana.
- Argument za \( z_3 = 3i \) je \( \theta_3 = \frac{\pi}{2} \).

Najmanji argument ima broj \( z_1 \), jer je \( \frac{\pi}{4} \) najmanji ugao.

### d) Najudaljeniji je od ishodišta
Udaljenost od ishodišta je ista kao modul kompleksnog broja, koji smo već izračunali. Prema tome, \( z_3 \) je najudaljeniji od ishodišta jer ima najveći modul, \( |z_3| = 3 \).

### Zaključak:
- a) nije primenljivo,
- b) \( z_3 \) ima najveći modul,
- c) \( z_1 \) ima najmanji argument,
- d) \( z_3 \) je najudaljeniji od ishodišta.

Da li želite detaljnija objašnjenja ili imate dodatnih pitanja?

### 5 Pitanja za proširenje:
1. Kako se određuje argument kompleksnog broja u različitim kvadrantima?
2. Šta se dešava s modulom ako dodamo realnu komponentu kompleksnom broju?
3. Kako kompleksni brojevi izgledaju u polarnom obliku?
4. Kako transformacija kompleksnog broja utiče na njegov modul i argument?
5. Koja je uloga modula i argumenta u analizi električnih kola?

### Savet:
Kada analizirate kompleksne brojeve, najjednostavnije je prebaciti ih u polarni oblik da biste lako izračunali njihove module i argumente.

Koji od kompleksnih brojeva z₁ = 1 + i, z₂ = 1 + 2i i z₃ = 3i ima sljedeće svojstvo? a) najveći je b) ima najveći modul c) ima najmanji argument d) najudaljeniji je od ishodišta

Explore how to analyze complex numbers z₁ = 1 + i, z₂ = 1 + 2i, and z₃ = 3i by calculating their moduli, arguments, and distances from the origin. Learn why z₃ has the largest modulus, z₁ has the smallest argument, and how these properties relate to complex number geometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation