Za ovaj zadatak, treba analizirati nekoliko svojstava kompleksnih brojeva $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 + 2i$ i $z_3 = 3i$.

a) Najveći broj

Kompleksni brojevi se ne mogu direktno poređivati po veličini jer nemaju prirodni redosled kao realni brojevi. Stoga ova tačka nije primenljiva.

b) Ima najveći modul

Modul kompleksnog broja $z = a + bi$ je definisan kao $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Izračunajmo module svakog broja:

• $|z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
• $|z_2| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$
• $|z_3| = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3$

Dakle, $z_3$ ima najveći modul (3).

c) Ima najmanji argument

Argument kompleksnog broja $z = a + bi$ je ugao koji vektor $z$ zatvara sa pozitivnom realnom osom. U ovom slučaju, izračunavamo argumente:

• Argument za $z_1 = 1 + i$ je $\theta_1 = \text{arctan}(1/1) = \frac{\pi}{4}$.
• Argument za $z_2 = 1 + 2i$ je $\theta_2 = \text{arctan}(2/1) \approx 1.107$ radijana.
• Argument za $z_3 = 3i$ je $\theta_3 = \frac{\pi}{2}$.

Najmanji argument ima broj $z_1$, jer je $\frac{\pi}{4}$ najmanji ugao.

d) Najudaljeniji je od ishodišta

Udaljenost od ishodišta je ista kao modul kompleksnog broja, koji smo već izračunali. Prema tome, $z_3$ je najudaljeniji od ishodišta jer ima najveći modul, $|z_3| = 3$.

Zaključak:

• a) nije primenljivo,
• b) $z_3$ ima najveći modul,
• c) $z_1$ ima najmanji argument,
• d) $z_3$ je najudaljeniji od ishodišta.

Da li želite detaljnija objašnjenja ili imate dodatnih pitanja?

5 Pitanja za proširenje:

1. Kako se određuje argument kompleksnog broja u različitim kvadrantima?
2. Šta se dešava s modulom ako dodamo realnu komponentu kompleksnom broju?
3. Kako kompleksni brojevi izgledaju u polarnom obliku?
4. Kako transformacija kompleksnog broja utiče na njegov modul i argument?
5. Koja je uloga modula i argumenta u analizi električnih kola?

Savet:

Kada analizirate kompleksne brojeve, najjednostavnije je prebaciti ih u polarni oblik da biste lako izračunali njihove module i argumente.