Vielen Dank für das Hochladen des Bildes. Ich werde die Aufgabe analysieren und eine vollständige Lösung bereitstellen.

Gegebene Reihe:

$\sum_{n=0}^\infty \left( -\frac{49}{36} \pi^2 \right)^n \frac{-21\pi}{(12n + 6)(2n)!}$

Wir sollen die Konvergenz der Reihe überprüfen und gegebenenfalls den Wert der Reihe angeben.

Schritte zur Lösung:

1. Allgemeiner Test der Konvergenz:

   • Wir betrachten den Ausdruck des allgemeinen Glieds: $a_n = \left( -\frac{49}{36} \pi^2 \right)^n \frac{-21\pi}{(12n + 6)(2n)!}.$
   • Um die Konvergenz zu untersuchen, wenden wir Konvergenztests wie das Wurzelkriterium oder Quotientenkriterium an.

2. Hinweise zur absoluten Konvergenz: Die Aufgabenstellung erlaubt die Nutzung bekannter Potenzreihen, insbesondere die gegebene Form der Taylor-Reihen von Funktionen wie $\exp(x)$, $\sin(x)$, usw. Diese können hier verwendet werden, um die Konvergenzbedingungen zu analysieren.

3. **Vergleich