Dada la función $f(x) = \frac{x + 2}{2x - 2}$, vamos a determinar lo siguiente:

a. Asíntotas verticales y horizontales

• Asíntota vertical: Se encuentra al hacer el denominador igual a cero, ya que la función se vuelve indefinida.

  $2x - 2 = 0 \implies x = 1$ Entonces, la asíntota vertical es $x = 1$.

• Asíntota horizontal: Se determina al observar el comportamiento de la función cuando $x \to \infty$ o $x \to -\infty$. Dividimos los términos de la función por $x$ (la mayor potencia de $x$ en el denominador):

  $f(x) = \frac{x + 2}{2x - 2} \sim \frac{x}{2x} = \frac{1}{2} \quad \text{cuando } x \to \pm \infty$ Por lo tanto, la asíntota horizontal es $y = \frac{1}{2}$.

b. Raíces de la función (puntos de corte con el eje x)

Para encontrar los puntos de corte con el eje $x$, hacemos $f(x) = 0$:

$\frac{x + 2}{2x - 2} = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2$

El punto de corte con el eje $x$ es $(-2, 0)$.

• Corte con el eje $y$: Para encontrar el punto de corte con el eje $y$, evaluamos la función en $x = 0$:

$f(0) = \frac{0 + 2}{2(0) - 2} = \frac{2}{-2} = -1$

El punto de corte con el eje $y$ es $(0, -1)$.

c. Tabla de valores

Para hacer una tabla de valores, seleccionamos algunos puntos clave, cercanos a la asíntota vertical $x = 1$.

$x$	$f(x)$
$-2$	$0$
$0$	$-1$
$0.5$	$-2$
$1$	\text{Indefinido}
$2$	$2$
$3$	$5/4 = 1.25$

d. Gráfica

La gráfica de la función mostrará una asíntota vertical en $x = 1$ y una asíntota horizontal en $y = \frac{1}{2}$. La curva se acercará a estas asíntotas sin tocarlas.

e. Dominio y rango

• Dominio: La función está definida para todos los valores de $x$, excepto cuando el denominador es 0. Por lo tanto, el dominio es:

  $D(f) = (-\infty, 1) \cup (1, \infty)$

• Rango: Debido a la asíntota horizontal $y = \frac{1}{2}$, la función nunca toma ese valor, pero puede asumir cualquier valor mayor o menor. El rango es:

  $R(f) = (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

f. Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Analizando el comportamiento de la función, tenemos que:

• La función es decreciente para $x < 1$.
• La función es creciente para $x > 1$.

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¿Te gustaría más detalles sobre alguno de estos puntos? Aquí algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se derivan exactamente las asíntotas en otras funciones racionales?
2. ¿Qué sucede en funciones con múltiple asíntotas horizontales o verticales?
3. ¿Cuál es la relación entre la forma de la gráfica y los puntos de corte con los ejes?
4. ¿Cómo podemos analizar más a fondo el dominio de funciones compuestas?
5. ¿Cómo impactan las asíntotas en el cálculo de límites?

Tip: Para analizar una función racional, siempre comienza buscando las asíntotas y los puntos críticos, ya que te dan una idea del comportamiento general de la gráfica.