definir dada la función f(x) = x+2/2x-2 determina: a. asintota vertical y horizontal b. raices de la o puntos de corte con los ejes c. tabla de valores d. gráfica e. dominio y rango f. intervalos

Dada la función \( f(x) = \frac{x + 2}{2x - 2} \), vamos a determinar lo siguiente:

### a. **Asíntotas verticales y horizontales**

- **Asíntota vertical**: Se encuentra al hacer el denominador igual a cero, ya que la función se vuelve indefinida.
  
  \[
  2x - 2 = 0 \implies x = 1
  \]
  Entonces, la asíntota vertical es \( x = 1 \).

- **Asíntota horizontal**: Se determina al observar el comportamiento de la función cuando \( x \to \infty \) o \( x \to -\infty \). Dividimos los términos de la función por \( x \) (la mayor potencia de \( x \) en el denominador):
  
  \[
  f(x) = \frac{x + 2}{2x - 2} \sim \frac{x}{2x} = \frac{1}{2} \quad \text{cuando } x \to \pm \infty
  \]
  Por lo tanto, la asíntota horizontal es \( y = \frac{1}{2} \).

### b. **Raíces de la función (puntos de corte con el eje x)**

Para encontrar los puntos de corte con el eje \( x \), hacemos \( f(x) = 0 \):

\[
\frac{x + 2}{2x - 2} = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2
\]

El punto de corte con el eje \( x \) es \( (-2, 0) \).

- **Corte con el eje \( y \)**: Para encontrar el punto de corte con el eje \( y \), evaluamos la función en \( x = 0 \):

\[
f(0) = \frac{0 + 2}{2(0) - 2} = \frac{2}{-2} = -1
\]

El punto de corte con el eje \( y \) es \( (0, -1) \).

### c. **Tabla de valores**

Para hacer una tabla de valores, seleccionamos algunos puntos clave, cercanos a la asíntota vertical \( x = 1 \).

| \( x \)   | \( f(x) \)          |
|-----------|---------------------|
| \(-2\)    | \( 0 \)             |
| \( 0 \)   | \( -1 \)            |
| \( 0.5 \) | \( -2 \)            |
| \( 1 \)   | \text{Indefinido}   |
| \( 2 \)   | \( 2 \)             |
| \( 3 \)   | \( 5/4 = 1.25 \)    |

### d. **Gráfica**

La gráfica de la función mostrará una asíntota vertical en \( x = 1 \) y una asíntota horizontal en \( y = \frac{1}{2} \). La curva se acercará a estas asíntotas sin tocarlas.

### e. **Dominio y rango**

- **Dominio**: La función está definida para todos los valores de \( x \), excepto cuando el denominador es 0. Por lo tanto, el dominio es:

  \[
  D(f) = (-\infty, 1) \cup (1, \infty)
  \]

- **Rango**: Debido a la asíntota horizontal \( y = \frac{1}{2} \), la función nunca toma ese valor, pero puede asumir cualquier valor mayor o menor. El rango es:

  \[
  R(f) = (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)
  \]

### f. **Intervalos de crecimiento y decrecimiento**

Analizando el comportamiento de la función, tenemos que:
- La función es decreciente para \( x < 1 \).
- La función es creciente para \( x > 1 \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de estos puntos? Aquí algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se derivan exactamente las asíntotas en otras funciones racionales?
2. ¿Qué sucede en funciones con múltiple asíntotas horizontales o verticales?
3. ¿Cuál es la relación entre la forma de la gráfica y los puntos de corte con los ejes?
4. ¿Cómo podemos analizar más a fondo el dominio de funciones compuestas?
5. ¿Cómo impactan las asíntotas en el cálculo de límites?

**Tip**: Para analizar una función racional, siempre comienza buscando las asíntotas y los puntos críticos, ya que te dan una idea del comportamiento general de la gráfica.

Definir dada la función f(x) = (x + 2) / (2x - 2) determina: a. asíntota vertical y horizontal, b. raíces de la función o puntos de corte con los ejes, c. tabla de valores, d. gráfica, e. dominio y rango, f. intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Explore how to find the vertical and horizontal asymptotes, roots, domain, and range of the rational function f(x) = (x + 2) / (2x - 2). This detailed solution includes key concepts such as asymptotes, graphing, and identifying function intervals. Suitable for students in Grades 9-12.

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