Vamos a resolver paso a paso cada uno de los puntos requeridos para la función $f(x) = e^x - 1$.

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i. Dominio

El dominio de $f(x) = e^x - 1$ se basa en la función exponencial, que está definida para todos los valores reales.
Dominio: $D_f = \mathbb{R}$ (Todos los números reales).

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ii. Intersección con los ejes coordenados

1. Intersección con el eje $y$:
   La intersección ocurre cuando $x = 0$:
   $f(0) = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$
   Punto: $(0, 0)$.

2. Intersección con el eje $x$:
   La intersección ocurre cuando $f(x) = 0$:
   $e^x - 1 = 0 \implies e^x = 1 \implies x = 0$
   Punto: $(0, 0)$.

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iii. Límites necesarios

1. Límite cuando $x \to \infty$: $\lim_{x \to \infty} (e^x - 1) = \infty$

2. Límite cuando $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} (e^x - 1) = e^{-\infty} - 1 = 0 - 1 = -1$

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iv. Asíntota

• Horizontal: Según el límite cuando $x \to -\infty$, la función tiene una asíntota horizontal en $y = -1$.

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v. Proceso de inversión

Para hallar la función inversa $f^{-1}(x)$, seguimos estos pasos:

1. Partimos de $y = e^x - 1$.

2. Intercambiamos $x$ y $y$:
   $x = e^y - 1$

3. Despejamos $y$:
   $x + 1 = e^y \implies y = \ln(x + 1)$

   Ley de la inversa: $f^{-1}(x) = \ln(x + 1)$.
   Dominio de $f^{-1}(x)$: $x > -1$.

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Pronóstico y gráfica

Ambas funciones ($f(x)$ y $f^{-1}(x)$) se grafican en el mismo sistema cartesiano. $f(x)$ es una función exponencial desplazada hacia abajo en 1 unidad, mientras que $f^{-1}(x)$ es una función logarítmica desplazada hacia la izquierda en 1 unidad. Se cruzan en $(0, 0)$, porque la función y su inversa se reflejan respecto a la línea $y = x$.

Voy a graficar ambas funciones. as np import matplotlib.pyplot as plt

Definimos las funciones

x = np.linspace(-3, 3, 500) # Para la función f(x) x_inverse = np.linspace(-0.99, 3, 500) # Para la función inversa (evitamos valores negativos en log)

f = np.exp(x) - 1 # f(x) = e^x - 1 f_inverse = np.log(x_inverse + 1) # f^-1(x) = ln(x + 1)

Graficamos

plt.figure(figsize=(8, 6))

f(x) y f^-1(x)

plt.plot(x, f, label=r"$f(x) = e^x - 1$", color='blue') plt.plot(x_inverse, f_inverse, label=r"$f^{-1}(x) = \ln(x + 1)$", color='green')

Línea de identidad

plt.plot(x, x, '--', color='red', label=r"$y = x$")

Límites y aspecto

plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5, linestyle='--') plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5, linestyle='--') plt.title("Gráfica de $f(x)$ y su inversa $f^{-1}(x)$") plt.xlabel("$x$") plt.ylabel("$y$") plt.legend() plt.grid(alpha=0.3) pltLa gráfica muestra tanto la función $f(x) = e^x - 1$ como su inversa $f^{-1}(x) = \ln(x + 1)$, junto con la línea de identidad $y = x$ que sirve como eje de simetría.

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¿Te gustaría una explicación más detallada o ayuda con otro tema? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se interpreta gráficamente la simetría entre $f(x)$ y $f^{-1}(x)$?
2. ¿Cómo afectan los desplazamientos a las propiedades de $f(x)$ y su inversa?
3. ¿Cuáles son las implicaciones del dominio y rango en $f(x)$ y $f^{-1}(x)$?
4. ¿Qué cambios se observarían si la función base fuera distinta, como $e^x + 1$?
5. ¿Cómo verificar algebraicamente que $f^{-1}(x)$ es correcta?

Tip: Al trabajar con funciones inversas, siempre verifica que $f(f^{-1}(x)) = x$ y $f^{-1}(f(x)) = x$.