Étudier et représenter la fonction $f(x) = e^x$

La fonction $f(x) = e^x$ est une fonction exponentielle très étudiée, et elle présente des propriétés importantes qu'il est utile de connaître. Voyons d'abord ses caractéristiques essentielles, puis comment la représenter graphiquement.

1. Propriétés générales de la fonction $f(x) = e^x$

• Domaine de définition : La fonction est définie pour tous les réels, soit $\mathbb{R}$. En d'autres termes, $f(x)$ existe et est bien définie pour toute valeur de $x \in \mathbb{R}$.

• Croissance : La fonction $e^x$ est croissante pour tous les réels. Cela signifie que si $x_1 < x_2$, alors $e^{x_1} < e^{x_2}$.

• Comportement asymptotique :

  • Lorsque $x \to -\infty$, $f(x) \to 0$. La courbe se rapproche de l'axe des abscisses (mais ne le touche jamais).
  • Lorsque $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$. La fonction augmente indéfiniment.

• Ordonnée à l'origine : Lorsque $x = 0$, $f(0) = e^0 = 1$.

• Pente : La dérivée de $f(x) = e^x$ est égale à $f'(x) = e^x$. Cela signifie que la pente de la tangente à la courbe en chaque point est égale à la valeur de la fonction en ce point.

• Symétrie : La fonction $e^x$ n'a pas de symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ou des abscisses, mais elle est symétrique par rapport à l'axe $x = 0$ lorsqu'on considère la fonction inverse, qui est $f^{-1}(x) = \ln(x)$.

2. Calcul de quelques valeurs de $f(x)$

• $f(0) = e^0 = 1$
• $f(1) = e^1 = e \approx 2,718$
• $f(-1) = e^{-1} \approx 0,368$
• $f(2) = e^2 \approx 7,389$

3. Représentation graphique

Pour représenter la fonction $f(x) = e^x$, voici comment procéder :

• Tracez un axe des abscisses (horizontal) et un axe des ordonnées (vertical).
• La fonction $f(x) = e^x$ est une courbe toujours croissante qui passe par le point $(0,1)$ et qui s'approche de l'axe des abscisses (mais sans jamais le toucher) à mesure que $x \to -\infty$.
• À mesure que $x \to +\infty$, la courbe monte rapidement et devient de plus en plus raide.

Voici une idée de la forme de la courbe : elle est concave vers le haut et ne touche jamais l'axe des abscisses.

4. Dérivée et taux de variation

Comme mentionné, la dérivée de $f(x) = e^x$ est $f'(x) = e^x$, ce qui montre que la fonction est toujours croissante. En fait, la pente de la tangente à la courbe en n'importe quel point est égale à la valeur de la fonction en ce point.

5. Intégrale de $e^x$

L'intégrale de $e^x$ est aussi assez simple :

$\int e^x \, dx = e^x + C$

où $C$ est la constante d'intégration.

---

Questions connexes

1. Quelle est la différence entre une fonction exponentielle et une fonction logarithmique ?
2. Comment la fonction $f(x) = e^x$ est-elle utilisée dans les applications réelles (par exemple, en économie ou en biologie) ?
3. Que se passe-t-il si on modifie la fonction en $f(x) = a^x$, avec $a > 0$ ?
4. Comment déterminer l'asymptote de la fonction exponentielle pour des valeurs négatives de $x$ ?
5. Quelle est l'inverse de la fonction $e^x$, et comment peut-on la calculer ?

Astuce

L'exponentielle $e^x$ est une fonction fondamentale en mathématiques, surtout en analyse, et apparaît fréquemment dans la modélisation de phénomènes naturels et économiques, comme les croissances exponentielles ou la radioactivité.