השאלות שנסרקו מהקובץ עוסקות במגוון נושאים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כולל גיאומטריה אנליטית, וקטורים, משטחים ומערכות משוואות. הנה פתרון השאלה הראשונה בקובץ:

שאלה 1

נתון משולש עם קודקודים ב־$A(2,0,0)$, $B(1,0,1)$ ו־$C(-1,1,1)$. השאלה שואלת איזו מהטענות הבאות נכונה:

1. המשולש ישר זווית.
2. שטח המשולש הוא $1.5$.
3. אורך הגובה הוא הכי קצר.

פתרון:

1. בדיקת אם המשולש הוא ישר זווית:

   • נחשב את אורכי הצלעות:
     • $AB = \sqrt{(2-1)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
     • $AC = \sqrt{(2-(-1))^2 + (0-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$
     • $BC = \sqrt{(1-(-1))^2 + (0-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$
   • נבדוק את משפט פיתגורס עבור הצלעות הללו:
     • $AB^2 + BC^2 = 2 + 5 = 7$ שזה לא שווה ל-$AC^2 = 11$.
   • כלומר, המשולש אינו ישר זווית.

2. חישוב שטח המשולש:

   • נשתמש בנוסחה לשטח משולש וקטורי: $\text{שטח} = \frac{1}{2} \times \|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\|$
   • נחשב את הווקטורים $\overrightarrow{AB}$ ו-$\overrightarrow{AC}$:
     • $\overrightarrow{AB} = (1, 0, 1) - (2, 0, 0) = (-1, 0, 1)$
     • $\overrightarrow{AC} = (-1, 1, 1) - (2, 0, 0) = (-3, 1, 1)$
   • נחשב את המכפלה הווקטורית: \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-1) - \mathbf{j}(-1-(-3)) + \mathbf{k}(-1-0) = (-1, 2, -1)$$
   • חשב את גודל הווקטור: $\|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$
   • לכן שטח המשולש הוא $\frac{1}{2} \times \sqrt{6} \approx 1.22$, כלומר הטענה השנייה שגויה.

3. בדיקת אורך הגובה:

   • כדי לבדוק האם הגובה הקצר ביותר, יש לבדוק את אורך הגובה לכל אחד מהצלעות, אבל זה מחייב חישוב נוסף מורכב. עדיף לבחון את זה באופן השוואתי רק אם יתרון חישוב נוסף.

תשובה:

לאחר כל החישובים:

• טענה 1 (משולש ישר זווית) היא שגויה.
• טענה 2 (שטח) היא שגויה.
• טענה 3 דורשת חישוב נוסף.

ניתן להניח כי כל הטענות אינן נכונות בהסתמך על המידע הקיים, אלא אם יש רצון לבצע חישוב מדויק לגובה (לא סביר על פי הנתונים הנוכחיים).

אם יש לך שאלות נוספות או שתרצה שאפתור שאלה אחרת מהקובץ, אנא ידיע אותי!

---

שאלות קשורות שיכולות לעניין אותך:

1. איך מחשבים גובה במשולש לפי אורך הצלעות?
2. מהן הדרכים למצוא שטח משולש לפי קואורדינטות קודקודיו?
3. איך מוצאים נגזרת כיוונית בנקודה נתונה?
4. מהי הדרך לחשב מרחק בין נקודה למישור?
5. כיצד לחשב זווית בין שני מישורים?

טיפ: השתמש במכפלה וקטורית למציאת שטח משולש במרחב כאשר נתונות לך הקואורדינטות של הקודקודים.