Przebieg zmienności funkcji $f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 1$

1. Dziedzina funkcji

Funkcja $f(x)$ jest wielomianem, więc jej dziedzina to cała oś rzeczywista:
$\mathbb{D}_f = \mathbb{R}.$

---

2. Obliczenie pochodnej i badanie ekstremów

Pochodna funkcji: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(3x^4 - 4x^3 + 1\right) = 12x^3 - 12x^2.$

Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias: $f'(x) = 12x^2(x - 1).$

Punkty krytyczne:
Rozwiązujemy równanie $f'(x) = 0$: $12x^2(x - 1) = 0.$ $x = 0 \quad \text{lub} \quad x = 1.$

---

3. Znaki pochodnej

Badamy znaki $f'(x)$ na przedziałach wyznaczonych przez punkty krytyczne $x = 0$ i $x = 1$.
Tabela znaków:

Przedział	$(-\infty, 0)$	$(0, 1)$	$(1, \infty)$
$f'(x)$	$+$	$-$	$+$

Interpretacja:

• Funkcja rosnąca na $(-\infty, 0)$ i $(1, \infty)$,
• Funkcja malejąca na $(0, 1)$.

---

4. Ekstrema lokalne

• W punkcie $x = 0$: funkcja zmienia monotoniczność z rosnącej na malejącą. Jest to maksimum lokalne.
• W punkcie $x = 1$: funkcja zmienia monotoniczność z malejącej na rosnącą. Jest to minimum lokalne.

---

5. Zachowanie funkcji na krańcach dziedziny

Dla $x \to \pm\infty$: $f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 1.$ Wiodący składnik $3x^4$ dominuje, więc $f(x) \to +\infty$ zarówno dla $x \to +\infty$, jak i $x \to -\infty$.

---

6. Wykres funkcji

Wygeneruję teraz wykres funkcji. Proszę chwilę poczekać. numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

Definicja funkcji

def f(x): return 3x**4 - 4x**3 + 1

Zakres wartości x

x = np.linspace(-2, 2, 500) y = f(x)

Tworzenie wykresu

plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.plot(x, y, label=r"$f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 1$", color="blue") plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8, linestyle='--') plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.8, linestyle='--')

Punkty krytyczne

critical_points = [0, 1] critical_values = [f(c) for c in critical_points] plt.scatter(critical_points, critical_values, color="red", zorder=5, label="Punkty krytyczne")

Opis wykresu

plt.title("Wykres funkcji $f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 1$", fontsize=14) plt.xlabel("$x$", fontsize=12) plt.ylabel("$f(x)$", fontsize=12) plt.legend(fontsize=12) plt.grid(alpha=0.3) plt.show()Oto wykres funkcji $f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 1$. Na wykresie zaznaczono punkty krytyczne $x = 0$ i $x = 1$.

---

Podsumowanie

1. Funkcja jest rosnąca na $(-\infty, 0)$ i $(1, \infty)$, oraz malejąca na $(0, 1)$.
2. Maksimum lokalne w $x = 0$: $f(0) = 1$.
3. Minimum lokalne w $x = 1$: $f(1) = 0$.
4. Funkcja dąży do $+\infty$ na krańcach dziedziny.

Czy chcesz, abym wyjaśnił coś bardziej szczegółowo? 😊

---

Pytania powiązane

1. Jakie inne własności funkcji mogłyby być przydatne w analizie?
2. Jak zmiana współczynników funkcji wpłynęłaby na jej wykres?
3. Jak interpretować punkty przegięcia funkcji, jeśli istnieją?
4. Czy można znaleźć przybliżone miejsca zerowe tej funkcji?
5. Jak wyznaczyć pole powierzchni pod wykresem w zadanym przedziale?

---

Wskazówka

Przy analizie funkcji zawsze warto sprawdzić drugą pochodną, aby określić wypukłość i punkty przegięcia.